Odległość punktu od płaszczyzny

Odległość punktu od płaszczyzny jest równa długości „najkrótszego” odcinka poprowadzonego od tego punktu do danej płaszczyzny.

Zadanie

Mamy płaszczyznę daną równaniem ogólnym r: 3x + y − 2z + 4 = 0 i punkt X = (5, 7, 2). Pytamy, jaka jest odległość punktu X od płaszczyzny r. Na rysunku zaznaczylibyśmy to tak:

Na rysunku mamy jakąś płaszczyznę ABCD i punkt X. Długość odcinka XF określa odległość punktu X od płaszczyzny. Ten odcinek jest znowu prostopadły do płaszczyzny, więc jest to najkrótsza droga od punktu do płaszczyzny. (Rysunek nie przedstawia płaszczyzny r: 3x + y − 2z + 4 = 0 ani punktu X = (5, 7, 2), tylko ogólnie odległość punktu od płaszczyzny.)

Rozwiązanie za pomocą wzoru

Możemy użyć praktycznie takiego samego wzoru jak wtedy, gdy obliczaliśmy odległość punktu od prostej, dodamy tylko jeszcze jeden wymiar. Odległość punktu X = (x₁, x₂, x₃) od płaszczyzny r: Ax + By + Cz + D = 0 (współczynników A, B, C, D nie myl z wierzchołkami na rysunku) obliczymy więc jako

$$ d(X, r) = \frac{|A\cdot x_1+B\cdot x_2+C\cdot x_3+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} $$

Dla płaszczyzny r i punktu X = (5, 7, 2) z zadania podstawiamy A = 3, B = 1, C = −2, D = 4 oraz x₁ = 5, x₂ = 7, x₃ = 2:

\begin{eqnarray} d(X, r) &=& \frac{|3\cdot5+1\cdot7-2\cdot2+4|}{\sqrt{3^2+1^2+(-2)^2}}\\ &=& \frac{22}{\sqrt{14}}\approx5{,}880 \end{eqnarray}