Równanie płaszczyzny

Płaszczyznę, tak samo jak prostą, możemy opisać na kilka sposobów. Zaczniemy od najprostszego, od równania parametrycznego płaszczyzny.

Równanie parametryczne płaszczyzny

Przypomnijmy sobie najpierw, jak wyznaczaliśmy równanie parametryczne prostej p. Wybraliśmy punkt A, przez który przechodziła prosta p, a potem wektor kierunkowy $\vec{u}$. Jeśli do punktu A dodaliśmy jakąś wielokrotność wektora kierunkowego, czyli wektor $t\cdot\vec{u}$, dostaliśmy jakiś punkt prostej p. Dla każdego punktu X, który leży na prostej, dostaliśmy w ten sposób równanie

$$ X = A + t\cdot \vec{u},\quad t\in \mathbb{R}. $$

Podobnym rozumowaniem możemy dojść do równania płaszczyzny. Do opisania płaszczyzny potrzebujemy dwóch różnych niezerowych wektorów, które nie są współliniowe, tzn. które nie są równoległe, i oczywiście punktu A, przez który ta płaszczyzna przechodzi. Wektory nie mogą być współliniowe po to, żeby nie leżały na jednej prostej. Jedna prosta nie wyznacza nam płaszczyzny, jedna prosta może leżeć w nieskończenie wielu płaszczyznach.

Możemy to ująć też inaczej — prostą potrafimy wyznaczyć za pomocą dwóch różnych punktów A, B. Przez te punkty przechodzi jednak nieskończenie wiele płaszczyzn — jeśli jednak do tych punktów dodamy jeszcze jeden punkt C, który nie leży na prostej AB, to płaszczyznę wyznaczymy już jednoznacznie.

Jeśli więc mamy trzy różne punkty A, B, C, możemy utworzyć dwa różne wektory $\vec{u}=\vec{AB}$ i $\vec{v}=\vec{AC}$. Te dwa wektory i na przykład punkt A wyznaczają nam płaszczyznę. Przypomnijmy sobie dodawanie wektorów:

Widzimy, że dodając dwa wektory, możemy dostać wektor, który leży „pomiędzy” tymi dwoma wektorami. Dodając kolejno różne wielokrotności wektorów $\vec{u}$ i $\vec{v}$, jesteśmy w stanie wypełnić całą płaszczyznę. Możemy więc zapisać równanie parametryczne płaszczyzny, która jest wyznaczona wektorami $\vec{u}, \vec{v}$ i która przechodzi przez punkt A:

$$ X = A + t\cdot \vec{u} + s\cdot \vec{v}, \quad t, s \in \mathbb{R} $$

gdzie X jest jakimś punktem płaszczyzny. Dla każdego punktu płaszczyzny potrafimy znaleźć takie t i s, żeby równanie było spełnione. To równanie możemy jeszcze rozpisać na układ równań. Zakładamy, że X = (x, y, z), A = (a₁, a₂, a₃), $\vec{u}=[u_1, u_2, u_3]$ i $\vec{v}=[v_1, v_2, v_3]$.

\begin{eqnarray} x &=& a_1 + t \cdot u_1 + s \cdot v_1 \\ y &=& a_2 + t \cdot u_2 + s \cdot v_2 \\ z &=& a_3 + t \cdot u_3 + s \cdot v_3 \\ \end{eqnarray}

Przykład

Sprawdź, czy na płaszczyźnie wyznaczonej przez punkty A = (2,3,4), B = (3,7,−1), C = (−5,4,4) leży punkt Q = (0,3,5).

Najpierw ułożymy równanie płaszczyzny. Wyznaczymy wektory $\vec{u}$ i $\vec{v}$, przy czym $\vec{u}=\vec{AB}$ i $\vec{v}=\vec{AC}$. Będzie więc:

\begin{eqnarray} \vec{u}&=&\vec{AB}=[3-2,7-3,-1-4]=[1,4,-5]\\ \vec{v}&=&\vec{AC}=[-5-2,4-3,4-4]=[-7,1,0] \end{eqnarray}

Płaszczyzna przechodzi przez punkt A, więc zapiszemy układ równań:

\begin{eqnarray} x &=& 2 + t \cdot 1 - s \cdot 7 \\ y &=& 3 + t \cdot 4 + s \cdot 1 \\ z &=& 4 - t \cdot 5 + s \cdot 0 \\ \end{eqnarray}

Teraz sprawdzimy, czy przez tę płaszczyznę przechodzi punkt Q = (0,3,5). Zrobimy to tak, że za x,y,z podstawimy właśnie liczby 0,3,5 i rozwiążemy układ równań. Dostajemy więc układ:

\begin{eqnarray} 0 &=& 2 + t \cdot 1 - s \cdot 7 \\ 3 &=& 3 + t \cdot 4 + s \cdot 1 \\ 5 &=& 4 - t \cdot 5 + s \cdot 0 \\ \end{eqnarray}

Z ostatniego równania możemy wyznaczyć t:

\begin{eqnarray} 5 &=& 4 - t \cdot 5 + s \cdot 0 \\ 5 &=& 4 - t \cdot 5\\ 1 &=& - t \cdot 5\\ t \cdot 5 &=& -1\\ t &=& -\frac{1}{5} \end{eqnarray}

Podstawimy t do drugiego równania:

\begin{eqnarray} 3 &=& 3 + t \cdot 4 + s \cdot 1 \\ 3 &=& 3 - \frac{1}{5} \cdot 4 + s \cdot 1 \\ 0 &=& -\frac{4}{5} + s \cdot 1 \\ s &=& \frac{4}{5} \end{eqnarray}

Na koniec podstawimy wartości t i s do pierwszego równania, żeby sprawdzić, czy równość jest prawdziwa:

\begin{eqnarray} 0 &=& 2 + t \cdot 1 - s \cdot 7 \\ 0 &=& 2 - \frac{1}{5} \cdot 1 - \frac{4}{5} \cdot 7 \\ 0 &=& \frac{10}{5} - \frac{1}{5} - \frac{28}{5}\\ 0 &=& -\frac{19}{5} \end{eqnarray}

Równość nie jest prawdziwa, cały układ nie ma więc rozwiązania i punkt Q = (0,3,5) nie leży na płaszczyźnie.