Odległość punktu od prostej

Odległość punktu od prostej jest równa długości „najkrótszego” odcinka poprowadzonego od tego punktu do danej prostej.

Zadanie

Mamy prostą p i punkt A, który na tej prostej nie leży. Interesuje nas, jaka jest odległość punktu A od prostej p. Jako przykład weźmiemy prostą daną równaniem ogólnym p: −x + 2y − 12 = 0 i punkt A = (6,4):

Odległość punktu od prostej jest wtedy równa długości odcinka AB, przy czym prosta AB jest prostopadła do prostej p, a punkt B leży na prostej p. Prostą AB oznaczymy q.

Rozwiązanie za pomocą wzoru

Jeśli nie chcesz nic wyprowadzać ani niczego „skomplikowanie” liczyć, możesz po prostu zapamiętać wzór. Dla punktu P = (x₀, y₀) i prostej p danej równaniem ogólnym p: Ax + By + C = 0 odległość punktu P od prostej p jest równa:

$$ d(P, p) = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} $$

Wzór możemy zastosować do poprzedniego przykładu. Za P weźmiemy punkt A = (6,4), czyli x₀ = 6, y₀ = 4, a z równania prostej p odczytamy A = −1, B = 2, C = −12 (współczynników A, B nie myl z punktami A, B). Podstawiamy:

\begin{eqnarray} d(A, p) &=& \frac{|-1\cdot6+2\cdot4-12|}{\sqrt{(-1)^2+2^2}}\\ &=&\frac{10}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\ &=&\frac{10\cdot\sqrt{5}}{5}=2\cdot\sqrt{5}\\ &\approx&4{,}4721 \end{eqnarray}

Sposób przez obliczenie współrzędnych punktu przecięcia

Możemy też spróbować obliczyć współrzędne punktu B. Długość odcinka AB obliczymy wtedy łatwo z długości wektora albo z twierdzenia Pitagorasa. Przyda nam się do tego równanie prostej q. Z równania ogólnego prostej p możemy od razu odczytać wektor normalny prostej p, jest on równy $\vec{n}=[-1, 2]$. Ponieważ proste p i q są prostopadłe, to jeśli weźmiemy jakiś wektor $\vec{m}$, który będzie prostopadły do wektora $\vec{n}$, to ten wektor $\vec{m}$ będzie wektorem normalnym prostej q.

Takim prostopadłym wektorem jest na przykład wektor $\vec{m}=[2, 1]$ (możemy to sprawdzić na przykład iloczynem skalarnym). Prosta q ma więc równanie ogólne

$$ q: 2x+y+C=0 $$

Współczynnik C obliczymy, podstawiając za x i y współrzędne punktu, który na prostej na pewno leży. W naszym przypadku jest to punkt A = (6,4). Dostaniemy:

\begin{eqnarray} 2x+y+C&=&0\\ 2\cdot6+4+C&=&0\\ C&=&-16 \end{eqnarray}

Całe równanie ogólne prostej q ma postać:

$$ q: 2x+y-16=0 $$

Teraz chcemy znaleźć punkt przecięcia obu prostych. Znajdziemy go tak, że z równań obu prostych utworzymy układ równań i go rozwiążemy:

\begin{eqnarray} -x+2y-12&=&0\\ 2x+y-16&=&0 \end{eqnarray}

Pierwsze równanie pomnożymy przez 2, drugiego nie zmienimy:

\begin{eqnarray} -2x+4y-24&=&0\\ 2x+y-16&=&0 \end{eqnarray}

Oba równania dodamy stronami:

\begin{eqnarray} -2x+4y-24+(2x+y-16)&=&0\\ 4y+y-24-16&=&0\\ 5y&=&40\\ y&=&8 \end{eqnarray}

Współrzędna y punktu B to y = 8. Tę wartość podstawimy do któregoś z równań, na przykład do −x + 2y − 12 = 0:

\begin{eqnarray} -x+2y-12&=&0\\ -x+2\cdot8-12&=&0\\ -x+4&=&0\\ x&=&4 \end{eqnarray}

Punkt B ma współrzędne B = (4, 8). Teraz znamy już współrzędne obu punktów. Obliczenie długości odcinka jest już łatwe. Możemy z odcinka AB utworzyć wektor $\vec{AB}$ i obliczyć długość tego wektora.

$$ \vec{AB} = [4-6, 8-4] = [-2, 4] $$

Długość wektora [−2, 4] jest wtedy równa:

$$ |\vec{AB}|=\sqrt{(-2)^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{5}=2\cdot\sqrt{5}\approx4{,}4721 $$