Wektory

Wektor opisuje wielkość, która oprócz wartości ma też kierunek i zwrot. Tym różni się od zwykłej liczby, czyli skalara, który ma tylko wartość.

Odcinek skierowany

Mamy na płaszczyźnie dwa różne punkty A, B. Między tymi punktami możemy poprowadzić odcinek. Taki odcinek zwykle zapisujemy jako AB, przy czym kolejność punktów nie ma znaczenia. Odcinek AB jest dokładnie taki sam jak odcinek BA.

Nie zawsze nam to odpowiada, dlatego wprowadzamy pojęcie odcinka skierowanego, w którym rozróżniamy początek i koniec. Odcinek skierowany AB ma początek w punkcie A, a koniec w punkcie B. Na rysunku zaznaczamy odcinek skierowany strzałką, w tekście zapisujemy go ze strzałką nad punktami: $\vec{AB}$. Przykład:

Na niebiesko jest narysowany odcinek AB, na czerwono odcinek skierowany $\vec{CD}$. Jeśli mamy odcinek skierowany $\vec{AB}$, dla którego zachodzi A = B, to taki odcinek nazywamy zerowym odcinkiem skierowanym. Ma on ten sam początek i koniec – trudno w ogóle nazwać go odcinkiem, skoro tak naprawdę jest to tylko jeden punkt.

Długość odcinka skierowanego jest taka sama jak długość zwykłego odcinka. Zachodzi $|\vec{AB}| = |AB|$.

Kierunek i zwrot odcinka skierowanego

Popatrz na dwa następujące odcinki skierowane $\vec{AB}$ i $\vec{CD}$:

Już na pierwszy rzut oka widać, że te odcinki skierowane mają ten sam kierunek i zwrot. Polskie podręczniki rozróżniają tu dwie rzeczy: kierunek (odcinki leżą na prostych równoległych) i zwrot (w którą stronę wskazuje strzałka). Choć moglibyśmy te pojęcia porządnie zdefiniować, zostaniemy przy ich intuicyjnym rozumieniu. W uproszczeniu: odcinki skierowane mają ten sam kierunek i zwrot, jeśli są równoległe i jeden nie wskazuje w przeciwną stronę niż drugi. Oto pary odcinków skierowanych, które mają ten sam kierunek i zwrot:

Ostatnie, zielone odcinki to odcinki skierowane $\vec{IJ}$ i $\vec{IK}$. Teraz przykład par odcinków, które nie mają tego samego kierunku i zwrotu:

Co to jest wektor

Wróćmy do rysunku dwóch odcinków skierowanych o tym samym kierunku i zwrocie:

Widzimy, że te odcinki skierowane mają nie tylko ten sam kierunek i zwrot, ale też tę samą długość. Jedyna różnica między nimi polega na tym, że leżą w innym miejscu. Odcinki skierowane, które mają ten sam kierunek, zwrot i długość, przedstawiają jeden i ten sam wektor.

Jeden wektor możemy więc na płaszczyźnie (w przestrzeni…) narysować na nieskończenie wiele sposobów – wystarczy wziąć dowolny odcinek skierowany, który ma ten sam kierunek, zwrot i długość co dany wektor. Wszystkie poniższe odcinki skierowane przedstawiają więc jeden wektor:

Wektor jest wyznaczony tylko przez swoją długość, kierunek i zwrot. Długość, kierunek i zwrot wektora są takie same jak u odcinka skierowanego, który ten wektor przedstawia. Wektory zapisujemy ze strzałką, tak samo jak odcinki skierowane (niektóre książki piszą je dodatkowo pogrubioną czcionką, tak jak na rysunkach w tym artykule). Możemy więc mieć wektor $\vec{AB}$ albo krócej wektor $\vec{u}$.

Jeden konkretny odcinek skierowany przedstawia wtedy zaczepienie wektora (mówi, w którym punkcie wektor zaczepiamy). Na poprzednim rysunku mamy w sumie 7 odcinków skierowanych, każdy z nich wyznacza więc inne zaczepienie wektora. Odcinki skierowane $\vec{AB}$ i $\vec{MN}$ przedstawiają ten sam wektor, powiedzmy $\vec{v}$, ale są to dwa różne zaczepienia wektora $\vec{v}$.

Wektory równoległe

Mamy dwa wektory $\vec{u}, \vec{v}$. Powiemy, że te wektory są równoległe (inaczej współliniowe, kolinearne), jeśli leżą na prostych równoległych. Wektory $\vec{u}, \vec{v}$ nie muszą mieć tej samej długości. Kierunek muszą mieć ten sam, zwrot zgodny albo przeciwny. Przykłady wektorów równoległych:

Wszystkie czerwone wektory są równoległe – mają ten sam kierunek. Na zwrocie już nie zależy, wszystko jedno, czy wskazują w prawy górny róg, czy w lewy dolny. Niebieski wektor $\vec{GH}$ nie jest do nich równoległy.

Jeśli jednak wektory równoległe mają ten sam zwrot, powiemy, że są zgodnie skierowane (mają zgodne zwroty), a jeśli nie mają tego samego zwrotu, są przeciwnie skierowane (mają przeciwne zwroty). Wróćmy do poprzedniego rysunku: wektory $\vec{AB}$ i $\vec{EF}$ są zgodnie skierowane, wektory $\vec{AB}$ i $\vec{KL}$ są przeciwnie skierowane.

Współrzędne wektorów

Wiemy już, że jeden wektor możemy przedstawić nieskończenie wieloma odcinkami skierowanymi. Jeden z tych odcinków ma początek w początku układu współrzędnych, w punkcie (0,0), jeśli mówimy o płaszczyźnie, i w punkcie (0,0,0), jeśli mówimy o przestrzeni. Popatrz na następujący rysunek:

Odcinki skierowane $\vec{AB}$ i $\vec{CD}$ mają ten sam kierunek, zwrot i długość, to jeden wektor. Przy tym odcinek $\vec{CD}$ wychodzi z początku układu współrzędnych, współrzędne punktu C to (0,0). To samo dotyczy pary odcinków $\vec{EF}$ i $\vec{KL}$.

Jeśli wiemy, że odcinki $\vec{CD}, \vec{EF}$ wychodzą z początku układu, możemy się umówić, że te wektory będziemy oznaczać tylko końcem. Początek jest ten sam (to początek układu współrzędnych), więc żeby odróżnić odcinki $\vec{CD}, \vec{EF}$, wystarczy zapisać ich końce.

Powiemy, że wektor $\vec{AB}$, a więc i wektor $\vec{CD}$, ma współrzędne [3, 1], czyli takie same jak punkt D = (3,1) – koniec odcinka $\vec{CD}$. Wektor $\vec{KL}$ ma wtedy współrzędne [−1, 4], takie jak punkt F.

Zwróć uwagę na nawiasy: współrzędne punktu zapisujemy w nawiasach okrągłych, a współrzędne wektora w nawiasach kwadratowych.

Jak obliczyć współrzędne wektora

Teraz matematyczny sposób wyznaczania współrzędnych wektora. Wychodzimy z tego, że znamy współrzędne punktów A, B, które wyznaczają wektor $\vec{u}$. Weźmy więc wektor $\vec{u}$ wyznaczony przez punkty A = (2, 3) i B = (5, 4). To ten czerwony wektor wyżej na poprzednim rysunku. Jak znaleźć współrzędne punktu D, czyli końca odcinka skierowanego, który przedstawia wektor $\vec{u}$ i zaczyna się w początku układu?

Po prostu przesuniemy cały odcinek $\vec{AB}$ do początku układu współrzędnych. Żeby punkt A trafił do początku układu, musimy go przesunąć o 2 kratki w lewo i o 3 kratki w dół. To samo z punktem B. Innymi słowy: od obu punktów A i B odejmiemy współrzędne punktu A. W ten sposób przesuniemy odcinek $\vec{AB}$ tam, gdzie jest narysowany odcinek $\vec{CD}$. Możemy zapisać:

$$\begin{eqnarray} A-A=\left(2{,}3\right)-\left(2{,}3\right) &=& \left(0{,}0\right)\\ B-A=\left(5{,}4\right)-\left(2{,}3\right) &=& \left(3{,}1\right) \end{eqnarray}$$

Współrzędne wektora $\vec{u}$ są więc współrzędnymi punktu (3,1), końca odcinka skierowanego, który ma początek w początku układu.

Możemy zapisać, że jeśli wektor $\vec{u}$ jest wyznaczony przez punkty A = (x₁,y₁) i B = (x₂, y₂), to jego współrzędne znajdziemy tak:

$$ \vec{u}=\vec{AB} = \left[x_2-x_1, y_2-y_1\right] $$

Współrzędne wektora $\vec{u}$ zapisujemy w nawiasach kwadratowych, więc współrzędne poprzedniego wektora $\vec{u}$ zapiszemy tak: $\vec{u}=\left[3, 1\right]$.

Możemy jeszcze wrócić do rysunku i obliczyć współrzędne wektora $\vec{KL}$. Punkty K i L mają współrzędne K = (−2,1), L = (−3,5). Współrzędne wektora będą więc

$$ \vec{KL}=\left[-3-(-2),5-1\right]=\left[-1, 4\right] $$

Widzimy, że wyszły nam poprawnie współrzędne punktu F.

Jak obliczyć długość wektora

Gdy znamy już współrzędne wektora, łatwo obliczymy jego długość. Z twierdzenia Pitagorasa dość łatwo wyprowadzimy, że długość wektora o współrzędnych $\vec{u}=[u_1, u_2]$ na płaszczyźnie wynosi

$$|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2 + u_2^2}$$

Na następującym rysunku widzimy, że współrzędne wektora są równe długościom boków utworzonego przez nas trójkąta i że po zastosowaniu twierdzenia Pitagorasa naprawdę łatwo obliczymy długość wektora.

Jeśli mamy wektor $\vec{u} = [2, 4]$, jego długość wyniesie

$$|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}=\sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$$

A teraz dwa przykłady do przećwiczenia omawianego materiału.

1. Wyznacz współrzędne wektora $\vec{u}$ o początku A = (3, 7) i końcu B = (−1, 0). Postępowanie jest tu zupełnie proste i bezpośrednie: $\vec{u} = [u_1, u_2] = \vec{AB}$.

   $$u_1 = -1 - 3 = -4, \qquad u_2 = 0 - 7 = -7$$

   Wektor ma więc współrzędne $\vec{u} = [-4, -7]$

2. Wiemy, że wektor $\vec{u}$ ma współrzędne $\vec{u}=[2, 3]$ i jest wyznaczony przez punkty A = (6, 6) i B = (x₁, y₁), tzn. $\vec{u}=\vec{AB}$. Wyznacz współrzędne punktu B.

   Ułożymy znowu nasze stare, dobrze znane równanie i wyznaczymy z niego niewiadomą:

   $$\begin{eqnarray} u_1&=&x_1-6\\ x_1&=&u_1+6\\ x_1&=&2+6\\ x_1&=&8 \end{eqnarray}$$

   Drugą współrzędną wyznaczymy identycznie:

   $$\begin{eqnarray} u_2 &=& y_1 - 6\\ y_1 &=& u_2 + 6\\ y_1 &=& 3 + 6\\ y_1 &=& 9 \end{eqnarray}$$

   Punkt B ma współrzędne (8, 9).