Prawdopodobieństwo warunkowe

Przy obliczaniu prawdopodobieństwa możemy do doświadczenia losowego dodać jakiś dodatkowy warunek. Klasycznym zadaniem na prawdopodobieństwo warunkowe może być taki przykład: rzucamy trzema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jeśli na jednej z kostek wypadnie trójka, to suma oczek wyniesie siedem?

Wyprowadzenie wzoru

Weźmy jakieś doświadczenie losowe (np. rzut kostkami) i dwa różne zdarzenia A i B takie, że P(B) ≠ 0, czyli zdarzenie B nie jest niemożliwe. O prawdopodobieństwie warunkowym mówimy wtedy, gdy pytamy, jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia A, jeśli zaszło zdarzenie B. Oznaczamy je P(A|B).

Spróbujemy krok po kroku dojść do wzoru, którym będziemy liczyć prawdopodobieństwo warunkowe. Dla uproszczenia wyobraźmy sobie czworościenną kostkę do gry, czyli kostkę, na której mogą wypaść tylko liczby 1, 2, 3 albo 4. Spróbujemy rozwiązać zadanie: jeśli rzucimy dwiema czworościennymi kostkami, jakie jest prawdopodobieństwo, że suma oczek wyniesie sześć, jeśli na co najmniej jednej z kostek wypadła liczba mniejsza od trzech?

Zaczniemy od wypisania wszystkich możliwości, jakie możemy otrzymać na dwóch czworościennych kostkach. Jest ich w sumie 4 · 4 = 16.

$$\begin{eqnarray} &&(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), \\ &&(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), \\ &&(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), \\ &&(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4) \end{eqnarray}$$

Jak wyglądają zdarzenia A i B? Zdarzenie A to: „suma oczek na kostkach wynosi sześć”, a zdarzenie B to: „na co najmniej jednej z kostek wypadła liczba mniejsza od trzech”. Interesuje nas prawdopodobieństwo warunkowe P(A|B) — jakie jest prawdopodobieństwo, że zajdzie zdarzenie A, gdy wiemy, że zaszło zdarzenie B. Najpierw z powyższej tabeli wybierzemy tylko te pary, które należą do zdarzenia B, czyli co najmniej jedna liczba w parze jest mniejsza od trzech. Otrzymujemy:

$$\begin{eqnarray} &B=&(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), \\ &&(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), \\ &&(3, 1), (3, 2), \\ &&(4, 1), (4, 2) \end{eqnarray}$$

Ten zbiór możemy w zasadzie traktować jako zbiór wszystkich możliwych wyników. W rzeczywistości mogą nam na kostkach wypaść dwie czwórki, ale tym dodatkowym warunkiem B mówimy, że taki wynik nas nie interesuje — interesują nas tylko te wyniki, w których przynajmniej na jednej kostce wypadła liczba mniejsza od trzech.

A teraz już tylko pytamy, jakie jest prawdopodobieństwo, że zaszło zdarzenie A, jeśli zbiór wszystkich wyników jest równy zbiorowi B? Nic innego prawdopodobieństwo warunkowe nie mówi. W tym zbiorze B znajdziemy więc pary, które dają sumę sześć:

$$ (2, 4), (4, 2) $$

Jak teraz obliczymy prawdopodobieństwo? Mamy w sumie 2 wyniki sprzyjające, a zbiór wszystkich wyników ma tyle elementów co zbiór B, czyli 12. Prawdopodobieństwo warunkowe jest więc równe

$$ P(A|B)=\frac{2}{12}=\frac16 $$

Teraz chodzi o to, jak to uogólnić. Powiedzieliśmy, że jako zbiór wszystkich możliwych wyników możemy traktować zbiór B. Jak wyglądałby zbiór wszystkich wyników sprzyjających? Byłby to zbiór tych wyników, które są w A (to jest zdarzenie, które nas interesuje), ale jednocześnie są w B (to jest warunek, który nas ogranicza). Innymi słowy: jest jeszcze jedna możliwość, jak dwie czworościenne kostki mogą dać sumę 6: gdy na obu wypadnie trójka. Ale w naszym przypadku taki wynik nie spełniłby warunku B: co najmniej jedna liczba jest mniejsza od trzech. Dlatego tego wyniku nie wliczamy do wyników sprzyjających. Zbiór wyników sprzyjających jest więc równy A ∩ B, części wspólnej obu zdarzeń. Gdy to wszystko złożymy, otrzymamy wzór:

$$ P(A|B) = \frac{|A \cap B|}{|B|}. $$

Na wzorze widać, dlaczego założyliśmy, że P(B) ≠ 0; gdyby ten warunek nie był spełniony, dzielilibyśmy przez zero, przez co moglibyśmy stworzyć czarną dziurę.

Powyższy wzór jest prawdziwy, jeśli mówimy o klasycznej definicji prawdopodobieństwa, gdy wszystkie zdarzenia elementarne mają takie samo prawdopodobieństwo. Wzór możemy zapisać w ogólniejszej postaci:

$$ P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}. $$

Rozwiązane przykłady

1. Rzucamy dwiema kostkami, czarną i białą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na białej kostce wypadła czwórka, jeśli suma oczek na obu kostkach wynosi siedem? Rozpiszmy to: zdarzenie A: „na białej kostce wypadła czwórka”, zdarzenie B (warunek): „suma wynosi siedem”. Zdarzenie B zawiera wszystkie pary liczb, które dają w sumie 7, czyli B = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}. Teraz wyznaczymy A ∩ B, czyli które pary z B należą jednocześnie do A, innymi słowy, w których na białej kostce wypadła czwórka? Przyjmijmy, że wyniki zapisujemy w postaci (czarna, biała), więc jedyną parą, która należy do A ∩ B, jest (3, 4). Teraz już tylko podstawiamy do wzoru:

$$ P(A|B) = \frac{|A \cap B|}{|B|}=\frac16. $$