Prawdopodobieństwo wygranej w Eurojackpot

Eurojackpot to loteria liczbowa podobna do Lotto, w której biorą udział gracze z kilku krajów Europy, w tym z Polski. Minimalna gwarantowana pula główna Eurojackpot wynosi dziesięć milionów euro, a maksymalna możliwa to 120 milionów euro. Zasady są podobne jak w Lotto.

Zasady

Celem gry jest odgadnięcie pięciu wylosowanych liczb spośród 50 możliwych i do tego jeszcze dwóch dodatkowych liczb spośród 12. Jeśli trafisz wszystkie siedem wylosowanych liczb, możesz cieszyć się z głównej wygranej, czyli Eurojackpotu. Jeśli trafisz mniej liczb, możesz liczyć na wygrane niższych stopni. Ciekawostka: w 2015 roku główną wygraną Eurojackpot zgarnął ktoś w Czechach, była to rekordowa w tym kraju wygrana w wysokości 2,466 miliarda koron czeskich.

Prawdopodobieństwo wygranej w Eurojackpot

Jaką masz jednak szansę na wygraną? Zaczniemy od tego, że policzymy, ile w ogóle istnieje wszystkich możliwych kombinacji, które mogą zostać wylosowane. Wiemy, że żadna liczba nie może zostać wylosowana dwa razy i że nie ma znaczenia, w jakiej kolejności liczby zostały wylosowane. To mówi nam, że do obliczeń nie możemy użyć wariacji, ale musimy użyć kombinacji. Pytamy więc, ile istnieje różnych piątek, które mogą zostać wylosowane spośród 50 możliwych liczb. Zapiszemy to za pomocą symbolu Newtona tak:

$$\large 50 \choose 5$$

Wzór, którym można obliczyć ten symbol Newtona, wygląda tak:

$$\large {n \choose k} = \frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$$

gdzie wykrzyknik oznacza silnię. Gdy podstawimy wartości, otrzymamy:

$$\large {50\choose5} =\frac{50!}{(50-5)!\cdot5!}=\frac{50!}{45!\cdot5!}$$

Wykorzystamy własności silni i rozpiszemy licznik:

$$\frac{50!}{45!\cdot5!}=\frac{50\cdot49\cdot48\cdot47\cdot46\cdot45!}{45!\cdot5!}$$

Widzimy, że zarówno w liczniku, jak i w mianowniku mamy 45!. Możemy więc cały ułamek skrócić właśnie przez 45!:

$$\frac{50\cdot49\cdot48\cdot47\cdot46\cdot45!}{45!\cdot5!}=\frac{50\cdot49\cdot48\cdot47\cdot46}{5!}$$

Rozpiszemy 5!:

$$\frac{50\cdot49\cdot48\cdot47\cdot46\cdot45!}{45!\cdot5!}=\frac{50\cdot49\cdot48\cdot47\cdot46}{5\cdot4\cdot3\cdot2}$$

Wszystko wymnożymy:

$$\frac{50\cdot49\cdot48\cdot47\cdot46}{5\cdot4\cdot3\cdot2}=\frac{254\ 251\ 200}{120}$$

I teraz już tylko podzielimy:

$$\frac{254\ 251\ 200}{120}=2\ 118\ 760$$

Istnieje więc w sumie 2 118 760 różnych piątek, które można wylosować spośród pięćdziesięciu różnych liczb. Prawdopodobieństwo, że trafimy wylosowaną piątkę, oznaczmy je P₁, jest odwrotnością tej liczby, czyli

$$P_1=\frac{1}{2\ 118\ 760}$$

Teraz musimy policzyć, ile istnieje różnych par, które można wylosować spośród 12 liczb, żebyśmy mogli obliczyć prawdopodobieństwo, że trafimy też liczby dodatkowe. Możemy to znowu zapisać jako symbol Newtona:

$$12 \choose 2$$

Obliczenia tym razem pominiemy, wynik jest taki:

$${12 \choose 2} = 66$$

Istnieje więc 66 różnych par. Prawdopodobieństwo, oznaczmy je P₂, że trafimy wylosowaną parę, wynosi

$$P_2=\frac{1}{66}$$

Całkowite prawdopodobieństwo P głównej wygranej w Eurojackpot otrzymamy, mnożąc te dwa prawdopodobieństwa:

$$P=P_1\cdot P_2=\frac{1}{2\ 118\ 760}\cdot\frac{1}{66}=\frac{1}{139\ 838\ 160}$$

Szansa, że zdobędziemy główną wygraną w Eurojackpot, wynosi 1 do 139 838 160. Dla ilustracji: w Polsce mieszka około 37 milionów ludzi. Żeby było pewne, że ktoś z Polski wygra, każdy mieszkaniec Polski musiałby zagrać 4 różne zakłady. Po losowaniu byłoby wtedy pewne, że jeden z zakładów z Polski jest tym zwycięskim.