Prawdopodobieństwo wygranej w Lotto

Jak obliczyć prawdopodobieństwo wygranej w Lotto? Jak zwiększyć szanse na wygraną? Przyjrzyjmy się temu. Lotto działa tak, że w maszynie losującej jest 49 kul z liczbami od 1 do 49 i podczas losowania wybiera się z niej sześć losowych liczb. Grający próbuje te sześć wylosowanych liczb odgadnąć. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trafimy wszystkie sześć wylosowanych liczb?

Zaczniemy od tego, że policzymy, ile w ogóle istnieje wszystkich możliwych kombinacji, które mogą zostać wylosowane. Ważne jest, żeby zdać sobie sprawę, że żadna liczba nie może zostać wylosowana w jednym losowaniu dwa razy, czyli nie jest możliwe, żeby wylosowano liczby 1, 2, 3, 4, 5, 5. Drugą ważną rzeczą jest to, że nie ma znaczenia, w jakiej kolejności liczby zostały wylosowane, czyli jeśli raz zostaną wylosowane liczby w kolejności 1, 2, 3, 4, 5, 6, a innym razem w kolejności 6, 5, 4, 3, 2, 1, to jest to ta sama kombinacja liczb i jeśli skreśliliśmy te liczby, wygralibyśmy tak czy inaczej.

Wiemy więc, że nie możemy użyć wariacji, w których kolejność ma znaczenie, ale do obliczeń użyjemy kombinacji, w których kolejność znaczenia nie ma. Pytamy więc, ile istnieje różnych kombinacji, gdy wybieramy sześć liczb spośród 49. Zapiszemy to w postaci symbolu Newtona tak:

$$\large 49\choose6$$

Wzór, którym można obliczyć ten symbol Newtona, wygląda tak:

$${n \choose k} = \frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$$

gdzie wykrzyknik oznacza silnię. Gdy podstawimy wartości, otrzymamy:

$$\large {49\choose6} = \frac{49!}{(49-6)!\cdot 6!}=\frac{49!}{43!\cdot 6!}$$

Licznik możemy rozpisać:

$$\frac{49!}{43!\cdot 6!}=\frac{49\cdot48\cdot47\cdot46\cdot45\cdot44\cdot43!}{43!\cdot 6!}$$

Teraz możemy skrócić 43!:

$$\frac{49\cdot48\cdot47\cdot46\cdot45\cdot44\cdot43!}{43!\cdot 6!}=\frac{49\cdot48\cdot47\cdot46\cdot45\cdot44}{6!}$$

I teraz już naprawdę tylko dokończymy obliczenia:

$$\frac{49\cdot48\cdot47\cdot46\cdot45\cdot44}{6!}=\frac{10\ 068\ 347\ 520}{720}$$

Co jest równe

$$\frac{10\ 068\ 347\ 520}{720}=13\ 983\ 816$$

Istnieje więc w sumie 13 983 816 różnych kombinacji (prawie czternaście milionów), które możesz obstawić.

Prawdopodobieństwo głównej wygranej

Główną wygraną zdobędziesz, gdy trafisz wszystkie sześć wylosowanych liczb. Ponieważ istnieje w sumie 13 983 816 różnych kombinacji, masz szansę 1 : 13 983 816, że wygrasz, co daje prawdopodobieństwo

$$\frac{1}{13 983 816}\approx0{,}0000000715$$

Wynik w procentach otrzymalibyśmy, mnożąc prawdopodobieństwo przez sto, czyli usuwając dwa zera: 0,00000715%. To niezbyt duże prawdopodobieństwo. Dla ilustracji: w Polsce mieszka około 37 milionów ludzi. Gdyby każdy grający skreślił inną szóstkę, to żeby mieć pewność, że ktoś trafi szóstkę, musiałoby zagrać prawie 14 milionów osób, czyli więcej niż co trzeci mieszkaniec Polski.

Jak zwiększyć szansę na wygraną w Lotto?

Nijak. Nie da się. Chyba że przekupisz tego, kto losuje liczby. Każda szóstka ma taką samą szansę na wylosowanie. Szóstka 1, 2, 3, 4, 5, 6 ma taką samą szansę na wylosowanie jak 5, 14, 15, 38, 41, 48. Maszyna losująca nie robi żadnej różnicy między ładnie ułożonym ciągiem liczb, takim jak 1, 2, 3, 4, 5, 6, a przypadkowym ciągiem liczb, takim jak 5, 14, 15, 38, 41, 48. To tylko nam, ludziom, ciąg kolejnych liczb podoba się bardziej. Maszyna losująca nie pamięta też wcześniej wylosowanych liczb. To, że w zeszłym tygodniu wylosowano liczby 5, 14, 15, 38, 41, 48, w żaden sposób nie wpływa na prawdopodobieństwo, że ta sama szóstka zostanie wylosowana znowu w następnym tygodniu.

Masz dwie możliwości, jak sobie pomóc przy grze: pierwsza to nie skreślać liczb, które skreślają inni. Nie zmienisz tym swoich szans na wygraną, bo nie ma znaczenia, czy daną szóstkę obstawiła jedna osoba, czy sto osób. Ale jeśli już wygrasz, twoja wygrana będzie dzielona między mniej osób. Najlepiej skreślać zupełnie losowe liczby. Szansa, że ktoś wybierze tę samą losową szóstkę, jest niska. Jeśli jednak na przykład skreślisz te same liczby, które padły w ostatnim losowaniu, jest duża szansa, że inni ludzie wybrali tę samą strategię i że przy ewentualnej wygranej będziesz musiał się dzielić.

Drugą możliwością, jak sobie pomóc przy grze, jest nie grać i zainwestować te pieniądze w coś rozsądniejszego.