Zdarzenie przeciwne

Zdarzenie przeciwne przydaje się czasem przy obliczaniu prawdopodobieństwa jakiegoś zdarzenia. Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A jest zdarzenie A', które zawiera wszystkie możliwe wyniki, jakie mogą wystąpić, ale nie należą do zdarzenia A.

Definicja

Definicje doświadczenia losowego i zdarzenia znajdziesz w artykule o prawdopodobieństwie. Krótkie przypomnienie: doświadczeniem losowym jest na przykład rzut kostką, zbiór wszystkich możliwych wyników (przestrzeń zdarzeń elementarnych) zawiera te wyniki, które mogą wystąpić, czyli w przypadku rzutu kostką jest to zbiór $\Omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$, zdarzenie jest podzbiorem $\Omega$ i może to być „na kostce wypadła liczba nieparzysta”, czyli A = {1, 3, 5}.

Jeśli mamy zdarzenie A, zostańmy przy „na kostce wypadła liczba nieparzysta”, czyli A = {1, 3, 5}, to przez zdarzenie przeciwne rozumiemy zdarzenie $A' = \Omega \setminus A$. Są to więc wszystkie pozostałe wyniki; te, które są w $\Omega$, ale nie ma ich w A. W naszym przypadku, gdy mamy zdarzenie „na kostce wypadła liczba nieparzysta”, zdarzeniem przeciwnym byłoby zdarzenie „na kostce wypadła liczba parzysta”. Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia „wypadnie 2 lub 5” jest zdarzenie „wypadnie 1, 3, 4 lub 6”.

Trzymając się języka zbiorów: jeśli $\Omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ i mamy zdarzenie A = {1, 2} („wypadnie liczba mniejsza od trzech”), to $A' = \Omega \setminus A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} \setminus {1, 2} = {3, 4, 5, 6}$. Słownie moglibyśmy to opisać jako „wypadnie liczba większa od dwóch”.

Dla prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego zachodzi prosta zależność: jeśli prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 25%, jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia A'? W gruncie rzeczy pytamy — jakie jest prawdopodobieństwo, że zdarzenie A nie zajdzie? Zdarzenie A zajdzie z prawdopodobieństwem 25%, a więc zdarzenie A nie zajdzie z prawdopodobieństwem 100 − 25 = 75%. To zachodzi zawsze, więc możemy powiedzieć, że zdarzenie przeciwne A' zajdzie z prawdopodobieństwem 1 − P(A):

$$ P(A') = 1 - P(A) $$

Rozwiązane przykłady

1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy rzucie dwiema kostkami nie wypadną dwie szóstki? W rozdziale o prawdopodobieństwie obliczyliśmy, że przy rzucie dwiema kostkami możliwych jest w sumie 36 różnych wyników. Teraz powinniśmy policzyć, ile z tych możliwości nie zawiera dwóch szóstek. Możemy jednak pójść odwrotną drogą: policzymy, ile par zawiera dwie szóstki, obliczymy prawdopodobieństwo tego zdarzenia, a potem odejmiemy je od jedynki.

   Dwie szóstki zawiera tylko jedna para, (6, 6), więc prawdopodobieństwo tego zdarzenia A wynosi:

   $$ P(A) = \frac{1}{36} $$

   Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego A', czyli zdarzenia „nie wypadną dwie szóstki”, wynosi wtedy:

   $$ P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36} = 97{,}2222… \% $$

2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy rzucie trzema kostkami wypadnie co najmniej jedna szóstka? To zadanie możemy znowu rozwiązać wprost i wypisać wszystkie wariacje, w których wypadła jedna szóstka, dwie szóstki i trzy szóstki. Możemy jednak podejść do tego od drugiej strony i obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, czyli zdarzenia „nie wypadła ani jedna szóstka”. Najpierw policzymy, ile jest w sumie możliwości, które mogą wypaść. Mamy trzy kostki, na każdej mogą wypaść liczby od 1 do 6, co daje w sumie 6³ = 216 możliwości.

   Teraz musimy policzyć te możliwości, w których nie ma ani jednej szóstki. Na każdej kostce musi więc wypaść liczba od 1 do 5, czyli w sumie jest 5³ = 125 możliwości, które nie zawierają liczby 6. Teraz już tylko podstawiamy do wzoru:

   $$ P(A) = \frac{125}{216}=57{,}87\% $$

   To było zdarzenie A — „nie wypadła ani jedna szóstka”. My chcemy znać prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego: „wypadła co najmniej jedna szóstka”. Podstawiamy więc do wzoru:

   $$ P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216} = 42{,}1296\% $$

3. Student na egzaminie z matematyki losuje 3 pytania spośród 30 przygotowanych. Z tego 10 pytań jest z algebry, 15 z analizy i 5 z geometrii. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosuje co najmniej dwa pytania z tej samej dziedziny? Znowu łatwiej będzie rozwiązać to zadanie za pomocą zdarzenia przeciwnego, które brzmi: jakie jest prawdopodobieństwo, że student wylosuje z każdej dziedziny dokładnie jedno pytanie?

   Najpierw policzymy, ile różnych trójek student może wylosować. Do tego będą nam potrzebne kombinacje. Mamy w sumie 30 pytań i losujemy z nich 3, przy czym kolejność nie ma znaczenia. To daje nam symbol Newtona

   $$ {30 \choose 3} = 4060 $$

   Dalej: ile jest różnych możliwości, w których student wylosuje z każdej dziedziny dokładnie jedno pytanie? Z reguły mnożenia wynika, że jest ich w sumie 10 · 15 · 5 = 750. Na koniec podstawiamy do wzoru na prawdopodobieństwo:

   $$ P(A) = \frac{750}{4060}=18{,}47\% $$

   My jednak chcemy znać prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, więc wynik po prostu odejmujemy od jedynki:

   $$ P(A') = 1 - \frac{750}{4060} = \frac{3310}{4060} = 81{,}53\% $$