Oblouková míra úhlu

Radián je — podobně jako stupeň — jednotka pro měření velikosti úhlů. Definuje se na jednotkové kružnici a jeho velikost odpovídá středovému úhlu oblouku, jehož délka je rovna poloměru daného oblouku.

Definice

K definování obloukové míry budeme potřebovat jednotkovou kružnici. Na tuto kružnici naneseme dva body A a B tak, aby oblouk, který tvoří, měl délku jedna, tj. aby délka oblouku byla stejně velká jako poloměr této kružnice. Pokud označíme střed kružnice bodem S, pak úhel ASB má velikost právě jeden radián.

Úsečka AS představuje poloměr kružnice, je vybarvená červeně. Stejně dlouhý musí být i druhá červená čára, oblouk AB. Důležité je, že nám nejde o vzdálenost bodů A a B přímo, tj. nezajímá nás úsečka AB, ale nám opravdu o délku tohoto oblouku.

Jaká je hodnota radiánů ve stupních? Přibližně $57^\circ 17^{\prime} 45^{\prime\prime}$. Přesnou hodnotu vyčíslit nedokážeme. Otázkou pak je, k čemu je taková jednotka dobrá.

Praktické počítání s radiány

Jako první si zodpovíme otázku, kolik radiánů odpovídá celé kružnici, tj. kolik radiánů odpovídá 360 stupňům. Víme, že délka oblouku u radiánu je právě poloměr kružnice. Kolik takových oblouků jsme schopni na celou kružnici naskládat? Celá kružnice má délku (tj. obvod) právě

$$o=2\pi r.$$

Náš oblouk má délku r, takže abychom zjistili, kolikrát se oblouk na kružnici vleze, musíme vydělit obvod / polomer, čímž dostaneme:

$$\frac{2\pi r}{r}=2\pi.$$

Odpovědí tak je, že takových oblouků jsme schopni na celou kružnici nanést 2π. To už je docela hezké číslo. Můžeme tak napsat, že

$$360^\circ=2\pi \mbox{ rad}\quad\mbox{a}\quad180^\circ=\pi\mbox{ rad}.$$

Často také samotnou jednotku rad vynecháváme a píšeme prostě pouze úhel o velikosti například 2π.

Na následujícím obrázku jsou zobrazeny tři úhly o velikosti jednoho radiánu, jsou to úhly alfa, beta a gama. Vidíte, že v součtu velikostí jejich úhlů je téměř 180 stupňů. Protože ale na 180 stupňů bychom potřebovali π radiánů a π má přibližnou hodnotu 3,1415…, tak nám tam ještě kousek chybí.

Převod ze stupňů na radiány a naopak

Většina přístrojů a programů, které počítají goniometrické funkce, pracují ve výchozím nastavení s radiány. To je trochu problém, pokud máte úhel zadaný ve stupních. Máte dvě možnosti: pokud to lze, tak přepnout přístroj tak, aby počítal ve stupních nebo převést stupně na radiány.

Například internetový vyhledávač Google má v sobě integrovanou kalkulačku, takže tam můžete spočítat například hodnotu funkce sinus. Ve výchozím nastavení ale pracuje právě s radiány, takže když zkusíme vypočítat sin(30), nedostaneme správný výsledek 0,5, protože to Google nepochopil jako třicet stupňů, ale třicet radiánů. Nicméně pokud za číslo přidáme slovo „degrees“ (což je anglicky „stupeň“), tak už nám to spočítá správně: sin(30 degrees). Většina kalkulaček pak má právě dva režimy, jeden pracuje ve stupních a druhý v radiánech. Obyčejně to bývá pod nějakým tlačítkem s nápisem rad a deg. Rad je zkratka z radiánu, deg je právě degree.

Pokud není zbytí, musíte stupně převést na radiány nebo naopak. Začneme prvním: převod ze stupňů na radiány. Už víme, že platí rovnost $180^\circ=\pi\mbox{ rad}$. Rádi bychom věděli, jaké části radiánu odpovídá jeden stupeň, takže rovnici vydělíme 180:

$$1^\circ=\frac{\pi}{180}\mbox{ rad}$$

Už víme, kolik radiánů je jeden stupeň. Pokud potřebujeme spočítat například třicet stupňů, vynásobíme tento zlomek třicet:

$$30^\circ=30\cdot\frac{\pi}{180}\mbox{ rad}=\frac{\pi}{6}\mbox{ rad}.$$

Podobně pro další stupně.

Nyní opačný případ, převod z radiánů na stupně. Opět vyjdeme z rovnosti $180^\circ=\pi\mbox{ rad}$. Pokud máme 2π radiánů, dostaneme dvakrát více stupňů, tedy 360. Pokud máme naopak jen půl π radiánů, získáme poloviční počet stupňů — 90. Jako první tak vydělíme naši hodnotu v radinánech číslem π, čímž zjistíme, jaký násobek 180 stupňů úhel představuje. Následně hodnotu vynásobíme právě 180 a máme úhel ve stupních. Takže pokud máme úhel o velikost 3π/2 radiánů, po vydělení dostaneme:

$$\frac{3\pi}{2}:\pi=\frac{3\pi}{2}\cdot\frac{1}{\pi}=\frac32$$

Tento výsledek vynásobíme 180 a máme úhel ve stupních: 3/2 · 180 = 270. Pokud máme dva radiány, pak dostáváme:

$$2\mbox{ rad} = \frac{2}{\pi}\cdot180=\left(\frac{360}{\pi}\right)^\circ = 114{,}59\ldots^\circ$$

Základní vztah mezi hodnotou v radiánech a ve stupních znázorňuje tento vzorec (rad je hodnota v radiánech, deg hodnota ve stupních):

$$deg=rad\cdot\frac{180^\circ}{\pi}.$$

Historie

Koncept radiánu jako první pravděpodobně vytvořil Roger Cotes v roce 1714. Tehdy ještě jeho jednotka neměla název „radián“, nicméně ostatní definice a vlastnosti byly identické. Termín „radián“ se na papíře poprvé objevil 5. června 1873 v článku Jamesona Thomsona. Jednotka se ještě mohla jmenovat „radial“ nebo jen „rad“. (Zdroj: wiki)

Tabulka základních převodních vztahů

Některé úhly se používají poměrně často, takže následující tabulka uvádí hodnoty ve stupních a jejich ekvivalent v radiánech:

$$ \LARGE \begin{matrix} \mbox{deg: }&0&30&45&60&90&180&270&360\\ \mbox{rad: }&0&\frac{\pi}{6}&\frac{\pi}{4}&\frac{\pi}{3}&\frac{\pi}{2}&\pi&\frac{3\pi}{2}&2\pi \end{matrix} $$