Kombinatorik

32 öğrencilik bir sınıftan kaç farklı beşli grup seçebileceğini bilmek ister misin? Kombinatorik tam da bu tür soruları çözer. İki temel sayma kuralı vardır: toplama yoluyla sayma ve çarpma yoluyla sayma. Diğer tüm yöntemler bu temel ilkelerin genişletilmiş hâlidir.

Toplama Yoluyla Sayma Kuralı

Toplama kuralı çok basittir. Ortak elemanı olmayan A, B kümeleri varsa, A ∪ B birleşiminden bir eleman seçmenin tüm olası yollarının sayısı s(A) + s(B)’ye, yani kümelerin eleman sayılarının toplamına eşittir.

Kolay bir örnekle başlayalım. 6 kırmızı ve 8 mavi topumuz var. Bu topları tek bir torbaya boşaltıyoruz. Torbadan bir top çekersek toplam kaç farklı seçeneğimiz olur? Başta kırmızı topların kümesi vardı, ona A diyelim; sonra mavi topların kümesi, ona da B diyelim. Bu kümeler ayrıktır, yani aynı topu içermezler. Bir top çekmek istediğimiz için toplam s(A) + s(B) = 6 + 8 = 14 seçeneğimiz var. Hepsi bu kadar.

Çarpma Yoluyla Sayma Kuralı

Yine iki kümemiz olsun: K ve E. K kümesi üç kızı, E kümesi dört erkeği içersin. Şimdi şunu soruyoruz: bu kümelerden kaç farklı erkek—kız çifti oluşturabiliriz? Yapmaya çalıştığımız şey şu: her seferinde bir kız seçip ona bir erkek eşleştiriyoruz. Tüm çiftlerin sayısını şöyle buluruz: bir kızı, Ayşe’yi alalım ve ona sırayla tüm erkekleri eşleştirelim. Ayşe’ye toplam 4 farklı erkek eşleştirebileceğimiz için 4 farklı çift elde ederiz. Aynısını kalan iki kız için de yaparız; onlar da her biri 4 çift daha oluşturur. Hepsi bu, toplam 4 + 4 + 4 = 12 çiftimiz var.

Aslında ne yaptık? İki kümenin eleman sayılarını çarptık. 3 kızımız ve 4 erkeğimiz vardı, çiftlerin toplam sayısı 3 · 4 = 12 oldu. Kuralın adı da buradan gelir: çarpma yoluyla sayma. Yani elimizde çiftler oluşturduğumuz iki küme varsa, bir kümenin eleman sayısını diğerinin eleman sayısıyla çarpmamız yeterlidir.

Bunun gerçekten doğru olduğunu aşağıda görebilirsin. İşte 3 kız ve 4 erkekten oluşturabileceğimiz tüm çiftler. Her satır kızlardan birinin seçeneklerini, her sütun erkeklerden birinin seçeneklerini gösteriyor. Yani üç satırımız ve dört sütunumuz var; toplam satır · sütun kadar seçenek.

$$\begin{array}{rcl}& & (K_1,E_1),(K_1,E_2),(K_1,E_3),(K_1,E_4),\\ & & (K_2,E_1),(K_2,E_2),(K_2,E_3),(K_2,E_4),\\ & & (K_3,E_1),(K_3,E_2),(K_3,E_3),(K_3,E_4)\end{array}$$

Çözümlü Örnekler

1. Kaç farklı iki basamaklı sayı vardır? İki basamaklı bir sayı nasıl görünür? Birinci basamakta 1, …, 9 rakamlarından biri bulunur, ikinci basamakta ise ayrıca sıfır da bulunabilir: 0, …, 9. Birinci kümede 9, ikincide 10 rakamımız var. Çarpma yoluyla sayma kuralını kullanırız ve sonuca ulaşırız: 9 · 10 = 90.

• Hiçbir rakamın iki kez kullanılmadığı kaç farklı üç basamaklı sayı vardır? Birinci basamakta yine dokuz rakam olabilir, çünkü sayı sıfırla başlayamaz. İkinci basamakta sıfır dahil tüm rakamlar olabilir, ama birinci basamaktaki rakam olamaz; bu yüzden olası on rakamdan bir tanesini çıkarırız (örneğin üç basamaklı sayımız 4 ile başlıyorsa ikinci basamakta artık 4 olamaz, çünkü o zaman sayıda 4 iki kez geçerdi). Üçüncü basamakta yine tüm rakamlar olabilir, ama birinci veya ikinci basamakta bulunan rakam olamaz. Gerekçe yine aynıdır. Birinci basamakta 4, ikincide 7 varsa, üçüncü basamağa {0, …, 9} ∖ {4, 7} kümesinden bir rakam yazabiliriz. Toplam on rakamdan ikisini çıkarmamız gerekir. Şimdi yalnızca çarparız: 9 · 9 · 8 = 648. Toplamda böyle 648 sayı vardır.
• Bir zarı art arda iki kez atıyoruz. Kaç farklı sonuç elde edebiliriz? İlk atışta zarda 6 farklı sonuç gelebilir. İkinci atışta da öyle, dolayısıyla toplam sonuç sayısı 6 · 6 = 36 olur.
• Bir zarı art arda iki kez atıyoruz. İlk atışta çift sayı geldiyse kaç farklı sonuç elde edebiliriz? İlk atışta çift sayı geldi, yani 2, 4, 6 sayılarından biri geldi; bu toplam 3 seçenek demektir. İkinci atışta ise herhangi bir sayı gelebilir, dolayısıyla toplam 3 · 6 = 18 seçeneğimiz var.