Üç Kapı Problemi

Kimi zaman Monty Hall problemi olarak da adlandırılan üç kapı problemi, birçok insanı şaşırtan bir olasılık sorusudur.

Soru

Üç kapı olsun. Sunucu Monty Hall, kapılardan birinin arkasına bir araba, diğerlerinin arkasına birer keçi yerleştirir. Senin görevin, arkasında araba olan kapıyı bulmak ve seçmektir. Sunucu, üç kapıdan birini seçmeni ister; kapılara A, B ve C diyelim. Sen bir kapıyı seçiyorsun, diyelim ki B’yi. Sonra sunucu devreye girer: kalan kapılardan, yani A, C kapılarından, arkasında keçi olan birini açar — yani hedefe kesinlikle çıkmayan bir kapıyı sana gösterir. Diyelim ki A kapısını açtı.

Problemin püf noktası bir sonraki adımdadır — sunucu sana seçimini değiştirebileceğini söyler. Önce B kapısını seçtin, sonra sunucu A kapısının arkasında araba olmadığını söyledi ve seçimini C kapısına değiştirebileceğini önerdi. İstersen ilk seçimin olan B kapısında da kalabilirsin.

Ne yaparsın? Arabanın B kapısının arkasında olma şansı mı daha yüksek, yoksa C kapısının arkasında olma şansı mı? Yoksa fark etmez mi?

Çözüm

Üç kapın var. Bir kapı oyundan çıktı, yani aslında yalnızca iki kapın kaldı. Bu iki kapıdan birinin arkasında kesinlikle araba var. Kalan iki kapı hakkında hiçbir şey bilmiyorsun, elinde başka bir ipucu da yok. O hâlde olasılık tabii ki iki kapı için de %50’dir.

İnsanların büyük bölümü yaklaşık böyle düşünür; yani sen de böyle düşündüysen üzülme. Ama bu çözüm tabii ki yanlış :-).

Doğru Çözüm

Sunucunun elemediği kapıya geçerek seçimini değiştirmek avantajlıdır. Anlamak için olasılıkları baştan yazalım. İlk seçimi yaparken arabanın seçtiğin kapının arkasında olma olasılığı 1/3’dir. Başka bir ipucumuz yok, bu yüzden olasılık her kapıya eşit dağılır: her kapı için 1/3.

Yani B kapısını seçtiysen arabanın onun arkasında olma şansın 1/3’dir. Aynı zamanda arabanın A ya da C kapısının arkasında olma olasılığı 2/3’dir. Dolayısıyla arabanın seçmediğimiz kapıların arkasında olması daha olasıdır. Bu önemli.

Sonraki adımda sunucu devreye girer ve arkasında araba olmayan kapılardan birini açar. Sunucu A kapısını açtı. Demek ki A kapısının arkasında araba yok. Peki o 2/3 olasılığa ne olur? Arabanın A ya da C kapısının arkasında olma olasılığının 2/3 olduğunu ve A kapısının arkasında olmadığını biliyoruz. Bu yüzden 2/3 olasılığın tamamı C kapısına geçer. Arabanın C kapısının arkasında olma şansı 2/3’dir.

B kapısı için şansımız ise hâlâ aynıdır, hiç değişmemiştir. Yani seçtiğimiz B kapısının arkasında araba olma şansı 1/3, seçimimizi değiştirip geçebileceğimiz C kapısının arkasında olma şansı ise 2/3’dir. Seçimi değiştirmek mantıklıdır.

Daha Fazla Kapı

Örneği, kapı sayısını artırıp soruyu şöyle değiştirirsek belki daha iyi anlarız: on kapı olsun. Başta yarışmacı bir kapı seçer ve sunucu, bizim seçtiğimiz kapı ile arkasında araba olan kapı dışındaki tüm kapıları açar. Soru önceki örnekle pratikte aynıdır; yalnızca orada sunucu tüm kapıları açarken tek bir kapı açtı, çünkü daha fazlasını açamazdı.

Başta 1 numaralı kapıyı seçiyorsun. Arabanın onun arkasında olma şansı 1/10’dir. Arabanın başka bir kapının arkasında olma olasılığı 9/10’dur. Sonra sunucu, arkasında kesinlikle araba olmayan 8 kapıyı eler ve yine yalnızca iki kapın kalır. Arabanın sunucunun bıraktığı kapının arkasında olma şansı 9/10, senin seçtiğin kapının arkasında olma şansı ise hâlâ 1/10’dir.

Diğer Kaynaklar

• Vikipedi