Olasılık

Rastgele bir olayın olasılığı, o olayın gerçekleşme şansımızın ne kadar olduğunu söyler. Tipik bir örnek, klasik bir zarı atmaktır. “Zarın beş gelme olasılığı nedir?” diye sorabiliriz. Olasılığı ya [0, 1] aralığından bir sayı olarak ya da yüzde ile, yani %0’dan %100’e kadar belirtiriz.

İlgili Tanımlar

Şansa bağlı olan, tekrarlanabilen her etkinliğe rastgele deney deriz. Örneğin zar atmak ya da 6/49’luk loto çekilişi bir rastgele deneydir. Ayrıca rastgele deneyin bütün olası çıktılarından oluşan kümeye ihtiyacımız var — bu, deneyde gerçekleşebilecek bütün durumlardır. Örneğin zarda birden altıya kadar sayılar gelebilir; dolayısıyla ω (omega) ile gösterdiğimiz, bütün olası çıktıların kümesi zar için şöyle olurdu: ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Lotoda ise gelebilecek bütün kombinasyonlar olurdu.

A ⊂ ω olan her alt kümeye (rastgele) olay deriz. Örneğin “zarda çift sayı gelir” olayını A = {2, 4, 6} diye yazarız. “Zarda beşten büyük sayı gelir” olayını A = {6} diye yazarız, vb. Zarı atarsak (= deneyi yaparsak) ve zarda x sayısı gelirse, x ∈ A ise olayın gerçekleştiğini, aksi hâlde gerçekleşmediğini söyleriz. “Zarda çift sayı gelir” olayında kalalım ve x = 2 gelsin; o zaman x ∈ A, yani 2 ∈ {2, 4, 6} ve olay gerçekleşti.

İki özel olay türü vardır: kesin olay ve imkânsız olay. Her deneyde gerçekleşen olaya kesin olay deriz, yani A = ω. Zarlarda bu, “7’den küçük bir sayı gelir” olayı olurdu. O kesinlikle gelir. Tersi imkânsız olaydır; o A = ∅ biçiminde yazılır, sözle de örneğin “zarda çiçek saksısı gelir” diye ifade edilir. Atış sırasında masadan bir çiçek saksısı düşebilir, ama zarın üzerinde kesinlikle saksı gelmez, çünkü orada yalnızca 1’den 6’ya kadar sayılar var.

Bir Olayın Olasılığı

Bir olayın olasılığı, o olayın ne kadar gerçekleşmesini beklememiz gerektiğini söyler. Hepimiz zarda doğrudan beş gelmesinden çok, çift bir sayı gelmesinin daha sık olacağını sezeriz. Olasılık bu sezgiyi kesin sayılara dönüştürür. Önce ihtiyacımız olacak bazı varsayımları belirtelim.

Rastgele bir deney için şunlar geçerli olsun:

• Olası çıktıların sayısı sonludur (yani ω bir sonlu kümedir).
• İki çıktı aynı anda gelemez (yani zarda aynı anda hem 3 hem 6 atamayız).
• Her çıktı eş olasılıklıdır (yani zarda 4 atma şansımız, 6 ya da 1 atma şansımızla aynıdır).

İlk iki koşul oldukça doğaldır, sonuncusu biraz kısıtlayıcıdır, ama şimdilik onunla idare edeceğiz. O zaman A olayının olasılığının, P(A) ile göstereceğimiz, şuna eşit olduğunu söyleyebiliriz:

$$P(A)=\frac{|A|}{|\omega |}.$$

Başka bir deyişle: istenen çıktıların sayısı bölü bütün çıktıların sayısı. (Önceki formüldeki dikey çizgiler kümenin büyüklüğünü gösterir.) Zarda çift sayı gelme olasılığı şuna eşit olurdu:

$$P(\text{Çift})=\frac{|\{2,4,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0,5.$$

Olasılığı sık sık yüzde olarak veririz — hesapladığımız olasılığı alıp yüzle çarparız ve yüzde işareti ekleriz: 0,5 · %100 = %50. Yüzde ellilik olasılık, çift sayı gelme şansımızın gelmeme şansımızla aynı olduğunu söyler. Zarda üç çift ve üç tek sayı olduğuna göre bu mantıklıdır.

Kesin olayın olasılığı 1, imkânsız olayın olasılığı 0’dır. Neden? Kesin J olayı için J = ω, imkânsız N olayı için N = ∅ olduğunu söylemiştik. Bu olayları formülde yerine yazarsak şunu elde ederiz:

$$P(J)=\frac{|\omega |}{|\omega |}=1;P(N)=\frac{|\mathrm{\varnothing }|}{|\omega |}=\frac{0}{|\omega |}=0.$$

Çözümlü Örnekler

1. Zarda beş gelme olasılığı nedir? Bu basit; istenen çıktıların kümesi yalnızca A = {5}, bütün çıktıların kümesi hâlâ ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Formülde yerine yazalım:

   $$P(A)=\frac{|\{5\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{1}{6}=\mathrm{16,666}\dots \mathrm{\%}$$

2. Zarda 3’e bölünebilen bir sayı gelme olasılığı nedir? Zarda hangi sayıların 3’e bölünebildiğini bulmalıyız. Bunlar yalnızca 3 ve 6’dır; yani istenen çıktıların kümesi B = {3, 6}. Sonra her zamanki gibi:

   $$P(B)=\frac{|\{3,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}=\mathrm{33,333}\dots \mathrm{\%}$$

3. Şimdi iki zarı aynı anda atmayı deneyelim. İki zarda da altı gelme olasılığı nedir? Önce ω’yı, yani bütün çıktıların kümesini bulmalıyız. Gelebilecek bütün durumları saymalıyız. Birinci zarda 1 gelirse ikinci zarda 1’den 6’ya kadar herhangi bir sayı gelebilir. Böylece altı durum bulduk. Birinci zarda 2 gelirse ikinci zarda yine 1’den 6’ya kadar sayılar gelebilir; böylece altı durum daha bulduk. Birinci zarda gelebilecek bütün sayılar için böyle devam ederiz. Bütün durumlar şöyle görünür:

   $$\begin{array}{rcl}& \omega =& (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\\ & & \dots \\ & & (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\end{array}$$

   Toplam altı satırımız var ve her satırda altı durum var. Zarlarda gelebilecek 6 · 6 = 36 durum elde ederiz. Bunlardan kaçı aynı zamanda istenen çıktılar kümesindedir? Yalnızca bir durum, tam olarak (6, 6), çünkü iki tane altı gelmesini istiyoruz. Böylece olasılık şöyle olur:

   $$P(C)=\frac{|\{(6,6)\}|}{|\omega |}=\frac{1}{36}=\mathrm{2,777}\dots \mathrm{\%}$$

4. İki zar atılırken ikisinde de aynı sayı gelme olasılığı nedir? Bütün olası çıktıların sayısı yine 36’dır, bir önceki örneğe bak. İstenen çıktı kaç tane? İki zarda aynı sayı yalnızca altı durumda gelir: D = {(1, 1), (2, 2), …, (6, 6)}. Formülde yerine yazalım:

   $$P(D)=\frac{|D|}{|\omega |}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}=\mathrm{16,666}\dots \mathrm{\%}$$

5. Biri beyaz, biri siyah iki zar atılırken beyaz zarda 3, siyah zarda 5 gelme olasılığı nedir? ω’nın büyüklüğü hâlâ 36’dır. İstenen çıktılar kümesi E nasıl görünür? Yalnızca (3, 5) durumunu içerir; olasılık şuna eşittir:

   $$P(E)=\frac{|E|}{|\omega |}=\frac{1}{36}=\mathrm{2,777}\dots \mathrm{\%}$$

6. Biri beyaz, biri siyah iki zar atılırken 3 ve 5 sayılarının gelme olasılığı nedir? Bu örnek bir öncekine benzer; yalnızca 3’ün beyaz zarda, 5’in siyah zarda gelmesini şart koşmuyoruz. Kısacası zarlardan birinde 3, kalan zarda 5 gelmelidir. Böylece daha çok durum elde ederiz: (3, 5) dışında (5, 3) durumu da vardır. Bu F olayının olasılığı şuna eşittir:

   $$P(F)=\frac{|F|}{|\omega |}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}=\mathrm{5,555}\dots \mathrm{\%}$$

7. İki zar atılırken en az bir tane altı gelme olasılığı nedir? Adım adım ilerleyelim: Birinci zarda altı gelirse ikinci zarda 1’den 5’e kadar sayılar gelebilir. Bu beş durumdur. İkinci zarda altı gelirse birinci zarda 1’den 5’e kadar sayılar gelebilir. Bu da beş durum daha. Son olarak iki zarda da altı gelebilir — bu da bir durum daha. Toplam 5 + 5 + 1 = 11 durum var. İstenen çıktılar kümesi G şöyle görünür: G = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6)}. Olasılık şöyle bulunur:

   $$P(G)=\frac{|G|}{|\omega |}=\frac{11}{36}=\mathrm{30,555}\dots \mathrm{\%}$$

8. Bir sınıfta 30 öğrenci var. Tarih öğretmeni her derste iki öğrenciyi tahtaya kaldırıyor ve şimdiye kadar kimse kaldırılmadıysa, Emre’nin kaldırılma olasılığı nedir? Olasılığı hesaplamak için kaç farklı öğrenci ikilisi olduğunu ve kaç ikilide Emre’nin bulunduğunu hesaplamamız gerekir. Öğretmenin öğrencileri hangi sırayla kaldırdığı önemli olmadığı için kombinasyonu kullanırız.

   Şimdi iş kolay. Toplam 30 öğrencimiz var ve onlardan kaç farklı ikili oluşturabileceğimizi soruyoruz. Bu bizi şu kombinasyon sayısına götürür:

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{2})=435$$

   Peki kaç ikilide Emre de var? İki kişiden biri Emre ise Emre’nin ikili oluşturabileceği 29 öğrenci kalır (kendisiyle ikili oluşturamaz, bu yüzden 30-1=29). Artık bütün durumların sayısını ve istenen durumların sayısını biliyoruz; formülde yerine yazalım:

   $$P(H)=\frac{29}{435}=\mathrm{0,066}6\dots =\mathrm{6,666}\dots \mathrm{\%}$$

   Not: Bütün ikililerin sayısını kombinasyon kullanmadan da bulabiliriz. 30 öğrencilik bir sınıfta bütün ikilileri nasıl oluştururduk? Her seferinde bir öğrenci alıp ona sırayla bütün diğerlerini ekleyerek. Yani örneğin Can’ı alıp ona bütün diğer öğrencileri eş olarak ekleriz, böylece 29 çift oluştururuz. Bunu her öğrenci için, yani 30 öğrencinin hepsi için yaparız. Toplam 30 · 29 = 870 çift elde ederiz. Ancak her çift orada iki kez vardır: bir kez (Can, Ayşe), bir kez de (Ayşe, Can) (sınıfın geri kalanının o sırada Can’a mı yoksa Ayşe’ye mi eşlendiğine bağlı olarak). Bu sonucu bir de ikiye böleriz ve nihai sonuca ulaşırız: 870 / 2 = 435.

9. On iki çift ayakkabının bulunduğu bir ayakkabılıktan tam üç tane sol ayakkabı çekme olasılığı nedir? Bu, hayattan çok uygun bir örnek; bunu bilmeye mutlaka bir gün ihtiyacın olmuştur. Önce ayakkabılıktan toplam kaç farklı üçlü çekebileceğimizi hesaplayalım. Bunun için kombinasyona ihtiyacımız olacak, çünkü ayakkabıları hangi sırayla çektiğimiz önemli değil. Toplam 24 ayakkabımız var ve 3 tanesini çekiyoruz. Şu kombinasyon sayısını elde ederiz:

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{24}{3})=2024$$

   Böylece ayakkabılıktan çekebileceğimiz üç ayakkabının toplam 2024 farklı kombinasyonu olduğunu hesapladık. Şimdi hangi kombinasyonların istenen durum olduğunu, yani hangi üçlülerin yalnızca sol ayakkabılardan oluştuğunu hesaplamalıyız. Ayakkabılıkta toplam 12 sol ayakkabı olduğunu biliyoruz. Yani bu 12 ayakkabıdan kaç kombinasyon oluşturabileceğimizi hesaplarız. Bu da yine şu kombinasyon sayısına götürür:

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{3})=220$$

   Demek ki yalnızca sol ayakkabılardan oluşan 220 kombinasyon vardır. Bilmemiz gereken her şey bu; şimdi yalnızca formülde yerine yazalım:

   $$P(I)=\frac{220}{2024}=\mathrm{0,108}695\dots =\mathrm{10,869}5\dots \mathrm{\%}$$

   Böylece üç ayakkabı çektiğimizde hepsinin sol ayakkabı olması için yaklaşık yüzde on şansımız var.