İstatistiğin Temelleri

İstatistik, gerçek verileri incelemeye çalışan ve bu verileri olasılık kuramının yardımıyla betimlemeye çalışan bilimdir.

İstatistik İçin Ayrı Bir Bölüm

Bu eski ve güncel olmayan bir makaledir; istatistiğin artık kendi bölümü ve giriş makalesi var: İstatistiğin Temel Kavramları.

Temel Kavramlar

İstatistikte birkaç temel kavramla çalışılır; burada onları anlatacağız.

Önce veri kümesi var; bu, incelemek istediğimiz verilerden oluşan sonlu bir kümedir. Veriler genel olabilir, aslında her şey olabilir. Türkiye’deki ortalama maaşı incelemek istiyorsan, veri kümesi Türkiye’deki tüm insanların kümesi olur. Veri kümesindeki eleman sayısına kümenin büyüklüğü denir. Bizim tanımladığımız veri kümesinin büyüklüğü, Türkiye’nin nüfusuna eşit olurdu.

Sonra birim kavramı var; bu, veri kümesinin belirli bir elemanıdır. Bizim örneğimizde birim, belirli tek bir insan olurdu.

Son olarak, ölçmek istediğimiz şey olan değişken var. Örneğimizde değişken tam olarak maaş olurdu. Değişken nitel ya da nicel olabilir. Nicel (kantite = miktar, sayı) değişken, sayılarla ifade edilebilen değişkendir (örneğin tam da bu maaş, boy, çocuk sayısı, …); nitel değişken ise sözle ifade edilebilir (renk, evet/hayır, meslek, …).

Sıklıklar

Sıklık göreli ya da mutlak olabilir ve bir değişkenin belirli bir değerinin veri kümesinde kaç kez bulunduğunu gösterir — ya mutlak olarak ya da kümenin toplam eleman sayısına göre göreli olarak.

Önemli olan, sıklığı hesaplarken değişkeni uygulamamız gerektiğidir. Çünkü bir birimin mutlak sıklığını hesaplamak istersek, mutlaka ya sıfıra ya da bire ulaşırız; çünkü veri kümesi bir kümedir ve küme olarak aynı elemanın birden fazla kez bulunmasına izin vermez.

Yani z değişken değerinin mutlak sıklığı, z değerinin S veri kümesinde kaç kez göründüğünü gösterir. Örnek: on öğrencilik bir sınıfımız olsun. Her öğrenci matematik dersinden 1’den 5’e kadar bir puan almış olsun (5 en iyisi, 5 yıldız üzerinden değerlendirme). Puanları aşağıdaki tablo gösteriyor:

$$\begin{array}{cccccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ 4& 1& 3& 4& 5& 5& 4& 2& 5& 3\end{array}$$

Not: bu örnekte veri kümesi, şu on sınıf arkadaşı olurdu:

$$S=\{\text{Ali},\text{Ayşe},\text{Mehmet},\dots \}$$

Tabloda basitlik için ilk satırda öğrencinin sayısal numarası var; yani ilk satırda birimler, yani veri kümesinin elemanları yer alıyor. İkinci satırda ise değişkenin değerleri, yani ilgili öğrencinin “matematikten aldığı puan” değerleri var.

z = 3 değerinin (3 puan) mutlak sıklığı ikiye eşit olurdu; yalnızca iki öğrenci 3 puan almış (“öğrenciler” 3 ve 10). z = 5 değerinin mutlak sıklığı üç olurdu (“öğrenciler” 5, 6 ve 9).

Göreli sıklık, veri kümesindeki değişken değerlerinin yüzde kaçının z değerine eşit olduğunu gösterir. z değerinin göreli sıklığını şöyle hesaplarız:

$$r=\frac{z_a}{|S|},$$

burada z_a, z değerinin mutlak sıklığı, |S| ise veri kümesinin büyüklüğü, yani eleman sayısıdır. 3 puanın göreli sıklığı şöyle olurdu:

$$r_3=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}.$$

Kümemizin büyüklüğü ondur, çünkü sınıfta on öğrenci var. Yüzde olarak yazılışı, yüzle çarparak elde edilir; yani %20 buluruz. 5 puanın göreli sıklığı

$$r_5=\frac{3}{10}$$

olurdu.

Aritmetik Ortalama

Aritmetik ortalama, ya da çoğu zaman sadece ortalama, veri kümesindeki tüm değerlerin ortalamasıdır. Burada değer sözcüğüyle, değişken uygulandıktan sonraki değer kastedilir. Ortalamayı, tüm değerleri toplayıp kümedeki değer sayısına bölerek hesaplarız. Yani yaklaşık şöyle:

$$p_a=\frac{x_1+x_2+x_3+\dots +x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

Sana daha okunaklı gelirse diye toplam sembolüyle bir gösterim de ekledim. Ama kesirli önceki ifade yeterli. x değerleri, kümemizin tüm değerlerini temsil eder.

Örnek: önceki tablodaki verileri alalım ve öğrenci başına ortalama puanı hesaplayalım.

$$p_a=\frac{4+1+3+4+5+5+4+2+5+3}{10}=\frac{36}{10}=3,6$$

Sınıfımızda ortalama puan 3,6’dır. Gördüğün gibi aritmetik ortalama, aslında hiç geçerli olmayan bir değer de verebilir — 3,6 puan veremezsin.

Aritmetik ortalama, verilerin bir kısmı geri kalan verilerden çok farklı bir değere sahip olduğunda da pek işe yaramaz. Yani 1, 3, 2, 5, 4, 2, 75 değerlerinden oluşan bir kümemiz varsa, aritmetik ortalama şöyle çıkar:

$$p_a=\frac{1+3+2+5+4+2+75}{7}\approx 13,14.$$

Ortaya çıkan değerin kümedeki tüm değerlerden çok uzak olduğunu görüyoruz. İlk altı sayıdan birkaç kat büyük, son değerden ise birkaç kat küçük. Bu, örneğin medyanın çözebileceği bir sorundur; aşağıya bak. En azından insanların üçte ikisinin neden ortalama maaşa ulaşamadığını artık biliyorsun — ortalama maaşı yükselten, standardın çok üstünde maaşları olan küçük bir grup insan vardır.

Geometrik Ortalama

Geometrik ortalama, aritmetik ortalamaya benzer şekilde hesaplanır; yalnızca toplama yerine çarpma, bölme yerine ise kök kullanılır. Yani geometrik ortalamayı şöyle hesaplarız:

$$p_g=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot \dots \cdot x_n}=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

Geometrik ortalama bir büyüme göstergesi olarak kullanılabilir. Örnek olarak, bir ürünün fiyatının bir yıl içinde %10, ertesi yıl %15, sonraki yıl da %5 arttığını varsayalım. İlk fiyat c, bu üç yıl sonra şu değere ulaşmış olurdu:

$$1,1\cdot 1,15\cdot 1,05c=\mathrm{1,328}25c.$$

Bu katsayıların geometrik ortalaması şöyle olurdu:

$$p_g=\sqrt[3]{1,1\cdot 1,15\cdot 1,05}\approx \mathrm{1,099}2419$$

Bu ne anlama geliyor? Fiyat her yıl tam olarak 1,0992419 sayısıyla çarpılsaydı (yani yaklaşık %9,92 artsaydı), sonuçta ortaya çıkan fiyat aynı değerde olurdu:

$$\mathrm{1,099}{2419}^3\approx \mathrm{1,328}25$$

Mod ve Medyan

Bir değişkenin modu, en yüksek sıklığa sahip olan değerdir ve Mod(x) ile gösterilir. Puanlı örneğe dönersek, modlar 4 ve 5 değerleridir, çünkü en sık görünenler bunlardır — ikisinin de mutlak sıklığı 3’tür.

Medyan ise ortadaki değerdir ve Med(x) ile gösterilir. Değerleri azalmayan bir dizi olarak sıralayabiliyorsak

$$x_1\le x_2\le x_3\le \dots \le x_n,$$

medyan, bu dizinin ortasında yer alan değeri temsil eder. Ortadaki değer, dizinin eleman sayısı tek ya da çift olmasına göre değişir. Tek ise medyan şu konumdaki elemandır:

$$\text{Med}(x)=x_{\frac{n+1}{2}}$$

Dizinin eleman sayısı çift ise tam ortada bulunan bir eleman yoktur (örnek: 1, 2, 3, 4 dizisinin ortada bir elemanı yoktur). Bu yüzden ortadaki iki değerin ortalamasını alırız (2 ve 3 değerlerinin ortalaması). Yani çift n için formül:

$$\text{Med}(x)=\frac{x_{n/2}+x_{(n+2)/2}}{2}$$

Kötü kullanılan aritmetik ortalamayı gösteren örneğe dönelim. Değerler kümemiz s=1, 3, 2, 5, 4, 2, 75 idi. Mod ikiye eşit olurdu; tekrar eden tek sayı odur. Medyanı hesaplamak için sayıları bir dizi olarak sıralarız:

$$a_i=1,2,2,3,4,5,75.$$

Dizinin yedi elemanı var, bu yüzden ortadaki eleman a₄ terimidir ve o da üçe eşittir.