Binom Açılımı

Binom açılımı, (a + b)² gibi klasik formüllerin kombinatorik yöntemlerle genelleştirilmesidir.

Motivasyon

(a + b)² veya (a + b)³ ifadelerini hesaplamak için kullanılan formülleri elbette biliyorsun:

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^2& =& a^2+2ab+b^2\\ (a+b{)}^3& =& a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\end{array}$$

Doğal soru şu: bu formülleri herhangi bir doğal sayı n için genelleştirmek mümkün mü, yani (a + b)ⁿ hesaplanabilir mi?

Çıkarılışı

Elbette mümkün ve bunun için tam olarak binom açılımı kullanılır. Bu açılımın n = 4 ve n = 5 için nasıl devam ettiğine bakalım.

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^4& =& a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4\\ (a+b{)}^5& =& a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5\end{array}$$

Artık belli bir düzen görmeye başlamış olmalısın. (a + b)ⁿ ifadesinde sağ tarafta her zaman aⁿ terimiyle başlarız. İkinci terim de a değişkenini içerir ama üssü bir eksiktir. Örneğin (a + b)⁴ açılımında sağ tarafta birinci terimde a⁴, ikinci terimde ise a³ var. Sonraki her terimde a değişkeni, önceki terimden bir eksik üsle bulunur. b değişkeninin üssü ise tam tersine artar. Başta b değişkeni yok; daha doğrusu var ama üssü sıfır: b⁰ = 1. İkinci terimde b’nin üssü bir, sonra iki olur ve böyle devam eder.

Tüm bunlarda geçerli basit bir kural var: üslerin toplamı her zaman n’e eşit olmalıdır. Son açılım olan (a + b)⁵’e bakarsak, örneğin üçüncü terim 10a³ · b²’dir ve a ile b değişkenlerinin üslerinin toplamı tam olarak 5’tir.

Son olarak her terimin katsayıları (değişkenlerin önündeki sayılar) nasıl olacak? Bu katsayıların simetrik olduğunu mutlaka fark edersin: (a + b)⁴ için katsayılar 1, 4, 6, 4, 1, (a + b)⁵ için ise 1, 5, 10, 10, 5, 1. Hatırlatayım, a⁴ = 1 · a⁴; bu yüzden formüllerde açıkça yazmasam da o 1’i oraya yazıyorum. Bir sonraki bağıntıyı Pascal üçgeni üzerinde göstereceğiz.

Pascal Üçgeni

Pascal üçgeni, binom açılımını hesaplarken işe yarayan pratik bir araçtır. Pascal üçgeni sayılardan oluşur ve başka iki sayının altında bulunan sayı, onların toplamına eşittir. Kulağa karışık geliyor ama üçgenin kendisine bakınca anlaşılacak:

Örneğin 4 sayısına bak. Bu sayının üstünde 1 ve 3 sayıları var. 1+3 toplamı da tam olarak 4 eder. Diğer sayılar için de aynı şekilde.

Peki Pascal üçgenini nasıl kullanacağız? Üçgenin satırlarındaki sayılara bakarsan, bunların elde edilen binom açılımının katsayılarına çok benzediğini görürsün. Örneğin (a + b)² için katsayılar 1, 2, 1’dir ve bu tam olarak ikinci satırdır. (a + b)⁴ için katsayılar 1, 4, 6, 4, 1’dir ve bu tam olarak dördüncü satırdır. (a + b)ⁿ ifadesini hesaplamak istiyorsak, Pascal üçgeninin n. satırına bakmamız yeterli.

Binom Açılımının Tanımı

Binom açılımı resmî olarak şöyle ifade edilir:

$$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^{k}a,b\in \mathbb{R};n\in \mathbb{N}$$

Toplamı sıfırdan n’ye kadar, uç değerler dahil hesaplıyoruz. Yani toplanan terim sayısı n + 1’dir. Parantez içindeki şey, kombinatorikten gelen binom katsayısıdır; binom açılımının ilgili teriminin elde edilebileceği farklı kombinasyonların sayısını gösterir. Geri kalanı yalnızca uygun üsleri olan değişkenlerdir. Üslerin toplamının gerçekten n’e eşit olduğuna dikkat et: n − k + k = n.

Örnekler

Basit bir örnek: binom açılımını kullanarak (a + 2b)⁴ ifadesini hesapla. İlk olarak Pascal üçgeninin dördüncü satırına bakarız. O bize katsayıların 1, 4, 6, 4, 1 olacağını söylüyor. Şimdi sırayla üsleri yazmak kaldı. Birinci terimde yalnızca a⁴ olacak:

$$(a+2b{)}^4=a^4+\dots$$

İkinci terimde üsler 3, 1 ikilisi olarak dağılmıştır; yani a³(2b)¹ elde ederiz. Birinci kuvvet ifadeyi değiştirmez, bu yüzden a³2b yazabiliriz. İkinci terimin katsayısı 4’tür:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+\dots$$

Üçüncü terimin üsleri 2, 2 olacak. Burada biraz dikkat et, 2b ifadesinin tamamının karesini alıyoruz, yani şöyle: (2b)², bu da şuna eşittir: (2b)² = 4b². Bunu 6 katsayısıyla açılıma ekleriz:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+\dots$$

Dördüncü terim a(2b)³ biçiminde olacak. Kuvvet alınca a8b³ elde ederiz. 4 katsayısıyla ekleriz:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+4a8b^3+\dots$$

Son terim ise yalnızca (2b)⁴ = 16b⁴ olacak:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+4a8b^3+16b^4.$$

Şimdi biraz düzenlemek kaldı. 4a³2b teriminde 2’yi terimin başına alıp 2 · 4 = 8 çarpımını yapabiliriz. Böylece 8a³b elde ederiz. Bunu geri kalan terimlerde de yaparsak sonucu buluruz:

$$(a+2b{)}^4=a^4+8a^{3}b+24a^2{b}^2+32a{b}^3+16b^4.$$

Bu noktada katsayıların artık Pascal üçgenindeki sayılarla uyuşmadığına dikkat et.