Dénombrement

Tu veux savoir combien de mains différentes de 5 cartes tu peux tirer d’un jeu de 32 cartes ? C’est exactement le type de problème que traite le dénombrement. Il existe deux règles de base, le principe additif et le principe multiplicatif. Toutes les autres méthodes ne sont que des extensions de ces principes.

Principe additif

Le principe additif est très simple : si l’on a deux ensembles A, B sans aucun élément commun, alors le nombre de façons de choisir un seul élément dans leur union A ∪ B est égal à |A| + |B|, c’est-à-dire à la somme des cardinaux des ensembles.

Commençons par un exemple facile. On a 6 billes rouges et 8 billes bleues. On les met toutes dans une urne. Combien de possibilités a-t-on si l’on tire une seule bille ? Appelons A l’ensemble des billes rouges, et B l’ensemble des billes bleues. Ces ensembles sont disjoints, autrement dit aucune bille n’appartient aux deux. Comme on veut tirer une seule bille, on a au total |A| + |B| = 6 + 8 = 14 possibilités. C’est tout.

Principe multiplicatif

Nous avons à nouveau deux ensembles, Z et M. L’ensemble Z contient trois femmes et l’ensemble M quatre hommes. On se demande combien de couples différents « homme–femme » on peut former. Ce que l’on fait : on prend une femme, Chloé, et on lui associe successivement tous les hommes. On obtient ainsi 4 couples différents, car elle peut être associée à 4 hommes différents. On fait de même pour les deux autres femmes, qui forment chacune 4 couples. Au total, on a 4 + 4 + 4 = 12 couples.

Qu’avons-nous fait en réalité ? Nous avons multiplié les cardinaux des deux ensembles. On avait 3 femmes et 4 hommes, donc le nombre total de couples est 3 · 4 = 12. D’où le nom de principe multiplicatif. Si l’on forme des couples à partir de deux ensembles, il suffit de multiplier le nombre d’éléments de l’un par le nombre d’éléments de l’autre.

On peut vérifier que c’est bien le cas. Voici tous les couples que l’on peut former avec 3 femmes et 4 hommes. Chaque ligne correspond aux possibilités pour l’une des femmes, chaque colonne aux possibilités pour l’un des hommes. On a donc trois lignes et quatre colonnes, soit lignes · colonnes possibilités.

$$\begin{array}{rcl}& & (Z_1;M_1),(Z_1;M_2),(Z_1;M_3),(Z_1;M_4),\\ & & (Z_2;M_1),(Z_2;M_2),(Z_2;M_3),(Z_2;M_4),\\ & & (Z_3;M_1),(Z_3;M_2),(Z_3;M_3),(Z_3;M_4)\end{array}$$

Exercices corrigés

1. Combien existe-t-il de nombres différents à deux chiffres ? À quoi ressemble un tel nombre ? En première position figure l’un des chiffres 1, …, 9, tandis qu’en deuxième position peut figurer en plus le zéro : 0, …, 9. Dans le premier ensemble, on a donc 9 chiffres, dans le second 10. On applique le principe multiplicatif et on obtient le résultat : 9 · 10 = 90.

• Combien existe-t-il de nombres différents à trois chiffres dans lesquels aucun chiffre n’apparaît deux fois ? En première position, on peut à nouveau choisir parmi neuf chiffres, car le nombre ne peut pas commencer par zéro. En deuxième position, tous les chiffres, zéro compris, sont possibles, mais il ne faut pas reprendre le chiffre de la première position ; on retire donc un chiffre des dix possibles (par exemple, si le nombre commence par 4, le 4 ne peut pas figurer à nouveau en deuxième position, sinon il apparaîtrait deux fois). En troisième position, tous les chiffres sont à nouveau possibles, sauf ceux qui sont déjà utilisés en première ou en deuxième position, pour la même raison. Si le premier chiffre est 4 et le deuxième 7, on peut compléter avec un chiffre de {0 ; … ; 9} ∖ {4 ; 7}. On retranche donc deux des dix chiffres. Il ne reste qu’à multiplier : 9 · 9 · 8 = 648. Il existe donc 648 nombres de ce type.
• On lance deux fois de suite un dé classique. Combien de résultats différents peut-on obtenir ? Au premier lancer, 6 résultats sont possibles, et de même au second. Le nombre total de possibilités est donc 6 · 6 = 36.
• On lance deux fois de suite un dé. Combien de résultats différents peut-on obtenir si le premier lancer a donné un nombre pair ? Au premier lancer, on a obtenu un nombre pair, c’est-à-dire l’un des nombres 2, 4, 6, soit 3 possibilités. Au second lancer, n’importe quel nombre peut sortir. On a donc au total 3 · 6 = 18 possibilités.