Combinatoria

¿Necesitas saber cuántas manos distintas de cinco cartas puedes sacar de una baraja de 32 cartas? Ese es justo el tipo de problema que resuelve la combinatoria. Existen dos reglas combinatorias básicas: la de la suma y la del producto. Todos los demás métodos son solo una ampliación de estos principios básicos.

Principio de adición

El principio de adición es muy sencillo: nos dice que si tenemos dos conjuntos A, B sin ningún elemento en común, el número de formas posibles de elegir un elemento de la unión A ∪ B es igual a |A| + |B|, es decir, a la suma de los números de elementos de los conjuntos.

Empecemos con un ejemplo fácil. Tenemos 6 bolas rojas y 8 bolas azules. Echamos todas las bolas en una misma urna. ¿Cuántas posibilidades tenemos en total si sacamos una bola? Al principio teníamos el conjunto de las bolas rojas, al que llamaremos A, y el de las bolas azules, que llamaremos B. Estos conjuntos son disjuntos, es decir, no tienen ninguna bola en común. Queremos sacar una bola, así que tenemos en total |A| + |B| = 6 + 8 = 14 posibilidades. Eso es todo.

Principio de multiplicación

Tenemos de nuevo dos conjuntos, M y H. El conjunto M contiene tres mujeres y el conjunto H, cuatro hombres. Ahora nos preguntamos cuántas parejas distintas hombre–mujer podemos formar con estos conjuntos. Lo que hacemos es siempre lo mismo: tomamos una mujer y le asignamos un hombre. El número de parejas lo calculamos así: tomamos una mujer, Lucía, y le vamos asignando todos los hombres uno tras otro. Obtenemos así 4 parejas distintas, porque a ella le podemos asignar 4 hombres distintos. Lo mismo hacemos con las otras dos mujeres, que también forman siempre otras 4 parejas. Y eso es todo: tenemos en total 4 + 4 + 4 = 12 parejas.

¿Qué hemos hecho en realidad? Hemos multiplicado los números de elementos de los dos conjuntos. Teníamos 3 mujeres y 4 hombres, así que el número total de parejas es 3 · 4 = 12. De ahí viene el nombre de principio de multiplicación. Por tanto, si tenemos dos conjuntos con los que formamos pares, basta multiplicar el número de elementos de un conjunto por el número de elementos del otro.

A continuación puedes comprobar que esto es cierto. Estas son todas las parejas que se pueden formar con 3 mujeres y 4 hombres. Cada fila representa las posibilidades para una de las mujeres y cada columna, las posibilidades para uno de los hombres. Tenemos así tres filas y cuatro columnas, es decir, filas · columnas posibilidades en total.

$$\begin{array}{rcl}& & (M_1,H_1),(M_1,H_2),(M_1,H_3),(M_1,H_4),\\ & & (M_2,H_1),(M_2,H_2),(M_2,H_3),(M_2,H_4),\\ & & (M_3,H_1),(M_3,H_2),(M_3,H_3),(M_3,H_4)\end{array}$$

Ejercicios resueltos

1. ¿Cuántos números distintos de dos cifras existen? ¿Qué aspecto tiene un número de dos cifras? En el primer lugar aparece una de las cifras 1, …, 9, mientras que en el segundo lugar puede aparecer además el cero: 0, …, 9. En el primer conjunto tenemos, pues, 9 cifras y en el segundo, 10. Aplicamos el principio de multiplicación y obtenemos el resultado final: 9 · 10 = 90.

• ¿Cuántos números distintos de tres cifras existen en los que ninguna cifra se repita? En el primer lugar puede haber de nuevo nueve cifras, porque el número no puede empezar por cero. En el segundo lugar pueden estar todas las cifras, incluido el cero, pero no puede estar la cifra que aparece en la primera posición, así que al número de diez cifras posibles le restamos uno (por ejemplo, si nuestro número de tres cifras empieza justo por un cuatro, está claro que en la segunda posición ya no puede haber un cuatro, porque estaría dos veces en el número). En el tercer lugar pueden estar de nuevo todas las cifras, pero no puede estar ninguna de las que ocupan el primer o el segundo lugar. El motivo es el mismo. Si en el primer lugar está la cifra 4 y en el segundo la cifra 7, en el tercer lugar podemos poner una cifra de {0, …, 9} ∖ {4, 7}. Del total de diez cifras tenemos que restar dos. Ahora solo falta multiplicar 9 · 9 · 8 = 648. En total existen, pues, 648 números así.
• Lanzamos dos veces seguidas un dado normal. ¿Cuántos resultados distintos podemos obtener? En el primer lanzamiento nos pueden salir 6 resultados distintos. En el segundo también, así que el número total de posibilidades es 6 · 6 = 36.
• Lanzamos dos veces seguidas un dado. ¿Cuántos resultados distintos podemos obtener si en el primer lanzamiento ha salido un número par? En el primer lanzamiento ha salido un número par, es decir, uno de los números 2, 4, 6, que son 3 posibilidades en total. En el segundo lanzamiento puede salir ya cualquier número, así que tenemos en total 3 · 6 = 18 posibilidades.