Permütasyon

Permütasyon, r’li permütasyonun özel bir hâlidir: n elemanlı bir kümemiz var ve tüm farklı n’lilerin sayısını bulmak istiyoruz.

Formül

Önce r’li permütasyonları hatırlayalım. {1, 2, 3, 4, 5} rakamlar kümesi olsun; hiçbir rakam tekrar etmeyecek şekilde bunlardan kaç üç basamaklı sayı yazabiliriz? Bu, bilinen formülle çözülebilen tipik bir r’li permütasyon örneğidir:

$$P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}=\frac{5!}{(5-3)!}=60.$$

Peki kaç tane beş basamaklı sayı yazabilirdik?

$$P(n,r)=\frac{5!}{(5-5)!}=\frac{5!}{0!}=5!=120.$$

Beş elemanlı bir kümemiz varsa ve tüm farklı beşlilerin sayısını arıyorsak sonucun 5! olduğunu görebiliriz. Bunu genelleştirip şöyle diyebiliriz: n elemanlı bir kümemiz varsa toplam n! farklı n’li vardır. Böylece permütasyon kavramına ulaşıyoruz.

Permütasyon Nedir?

n elemanlı bir M kümemiz varsa, permütasyon, M kümesinin elemanlarından oluşan ve hiçbir elemanın tekrar etmediği herhangi bir n’lidir. Örnek: M = {a, b, c, d} kümesi için permütasyon örneğin (a, b, d, c) veya (d, b, a, c) olabilir. Tüm farklı permütasyonların sayısı şuna eşittir:

$$P(n,n)=n!$$

Çözümlü Örnekler

1. Toplam altı kitabın var ve bunları rafa belli bir sırayla dizmek istiyorsun. Kaç farklı sıralama vardır? Altı kitabımız var, her seferinde tüm kitapları sıralıyoruz; dolayısıyla sonuç P(6, 6) = 6! = 720 olur.

2. Önceki örnekteki 6 Türkçe kitabına 4 İngilizce kitap daha eklendi. Tüm Türkçe kitapların bir arada, tüm İngilizce kitapların da bir arada olmasını istiyorsan bu 10 kitabı rafa kaç farklı şekilde dizebilirsin?

   Kitapları nasıl yerleştirebiliriz? Önce altı Türkçe kitabı, sonra dört İngilizce kitabı dizebiliriz ya da tersine, önce dört İngilizce kitabı, sonra altı Türkçe kitabı. Türkçe kitapları dizmenin 6!, İngilizce kitapları dizmenin 4! yolu vardır. Çarpma yoluyla sayma kuralını kullanıp bu sonuçları çarparız: 6! · 4! = 17.280. Kitapları dizmenin iki seçeneği olduğu için (önce Türkçe, sonra İngilizce ve tersi) bu sayıyı bir de ikiyle çarparız. Sonuç: 17.280 · 2 = 34.560.