Výška trojúhelníku

Výška trojúhelníku je úsečka. Jedním vrcholem úsečky je vrchol trojúhelníku a druhým vrcholem je bod na protější straně trojúhelníku, přičemž samotná výška musí být k této straně kolmá.

Článek si také můžete pustit jako video na YouTube!

Ostroúhlý trojúhelník

Nejlépe to bude vidět na obrázku:

Výšku jsme vedli z vrcholu C. Druhý bod leží na protější straně AB (neboli strana c) a úsečka CP_c je kolmá na stranu c. Bod P_c se nazývá pata výšky; stranu c nazýváme základnou. Patu obvykle pojmenováváme po písmenu P s dolním indexem, kde je vrchol, z kterého výška vede. V tomto případě je to vrchol C.

Výšky se rýsuje celkem snadno, vezmete si pravítko a vedete kolmici ze strany c tak, aby tato kolmice protla právě bod C. To je vše.

Výšku můžeme vést z každého vrcholu trojúhelníka. Všechny výšky se pak protínají v bodě, které se nazývá ortocentrum. Ortocentrum může ležet vevnitř trojúhelníku, ale také nemusí. V případě ostroúhlého trojúhelníku leží ortocentrum vevnitř trojúhelníku:

Červeně jsou vyznačeny všechny tři výšky trojúhelníku. Všimněte si, že každá výška je kolmá ke své straně. Výšky označujeme malým písmenem v s dolním indexem, kde vložíme označení, z kterého vrcholu výška vede. V případě výšky BP_b tak mluvíme o výšce v_b. Samotné ortocentrum je označeno zeleným bodem V.

Tupoúhlý trojúhelník

V případě tupoúhlého trojúhelníku se musíte dopustit jistého fíglu. Ortocentrum vznikne mimo vnitřek trojúhelníku a některé výšky ve skutečnosti nemohou protnout strany, které by protnout měly. Toto se řeší tak, že se požadované strany trojúhelníku „protáhnou“ tak, aby to zkrátka vyšlo. Opět se podívejte na obrázek: Základem je tučně zvýrazněný trojúhelník ABC. Tento trojúhelník je tupoúhlý, úhel ACB má velikost větší než 90 stupňů. Výšku z vrcholu C narýsujeme v pohodě, ale už s výškou z vrcholu B budeme mít problém. Nenajdeme kolmici ke straně AC, která by protla jak stranu AC, tak vrchol B. To vyřešíme tak, že vytvoříme polopřímku AC a protáhneme tak stranu AC jak je potřeba. Kolmici hledáme na této polopřímce. Zde už kolmici nalezneme. Pata kolmice se nachází na nově vzniklé polopřímce. Stejně tak narýsujeme i zbývající výšku.

Nyní máme narýsované všechny tři výšky trojúhelníku. Problémem je, že tyto výšky se nikdy neprotly a nevytvořili tak ortocentrum. To zařídíme tak, že narýsujeme tři nové polopřímky ve směru výšek tak, aby se někde nad trojúhelníkem protly. Samotné výšky ale nijak měnit nebudeme.

Pravoúhlý trojúhelník

V pravoúhlém trojúhelníku je to nejjednodušší, protože dvě výšky budou shodné s dvěma stranami trojúhelníka, konkrétně s odvěsnami. Ortocentrum pak bude ve vrcholu, který je naproti přeponě.

Délka výšky

Občas je potřeba spočítat délku výšky. Vyjdeme z obrázku pro výšku v ostroúhlém trojúhelníku.

Máme tam vyznačenou výšku v_c, takže zkusíme spočítat její délku. Výška v_c je samozřejmě kolmá ke straně AB, čehož můžeme využít. Vytvoříme nový trojúhelník, ve kterém se nám výška bude počítat snadněji. Trojúhelníku vytvoříme z vrcholů B, C a P_c. Na obrázku zvýrazněno červeně:

Nyní využijeme goniometrické funkce. K tomu ještě budeme potřebovat znát úhel u vrcholu B, úhel β. Pak už je to jednoduchá aplikace sinu, který určuje poměr protilehlé strany ku přeponě. Protilehlá strana je v tomto případě strana v_c, přepona je strana CB. Takže platí:

$$\begin{eqnarray} \sin(\beta)&=&\frac{|v_c|}{|BC|}\\ |v_c|&=&\sin(\beta)\cdot|BC| \end{eqnarray}$$

Úhel β má velikost přibližně $54^\circ13^{\prime\prime}$. Po dosazení dostáváme:

$$|v_c|=\sin(54^\circ13^{\prime\prime})\cdot5=0.8\cdot5=4.$$

Výška v_c má velikost čtyři.