すべてを並べる順列（階乗）

すべてを並べる順列は、順列の特別な場合です。要素が n 個の集合から、異なる n 個の並びがいくつできるかを求めます。

公式

まず、順列を復習しましょう。数字の集合 {1, 2, 3, 4, 5} から、同じ数字をくり返さずに、3けたの数はいくつつくれるでしょうか。これは順列の典型的な例で、おなじみの公式で解けます。

$${}_5{\mathrm{P}}_3=\frac{5!}{(5-3)!}=60.$$

5けたの数なら、いくつつくれるでしょうか。

$${}_5{\mathrm{P}}_5=\frac{5!}{(5-5)!}=\frac{5!}{0!}=5!=120.$$

5つの要素からなる集合で、異なる5つ組の個数を求めると、答えは 5! になることに気づくでしょう。これを一般化すると、n 個の要素からなる集合からは、全部で n! 通りの異なる n 個の並びができる、といえます。ここで、すべてを並べる順列という考え方が出てきます。

すべてを並べる順列とは

要素が n 個の集合 M があるとき、集合 M の要素からつくった n 個の並びで、同じ要素をくり返さないものを、その集合のすべての要素を並べる順列といいます。例：集合 M = {a, b, c, d} なら、たとえば (a, b, d, c) や (d, b, a, c) がそのような順列です。異なる順列の総数は、次の式に等しくなります。

$${}_n{\mathrm{P}}_n=n!$$

例題

1. 6冊の本を本棚に1列に並べます。異なる並べ方は全部で何通りあるでしょうか。6冊すべてを並べるので、答えは {}₆P₆ = 6! = 720 です。

2. 前の例の日本語の本6冊に、英語の本4冊が加わりました。日本語の本はすべてまとめて、英語の本もすべてまとめて並べたいとき、この10冊を本棚に並べる方法は何通りあるでしょうか。

   本の並べ方には、どんな場合があるでしょうか。まず日本語の本6冊、次に英語の本4冊と並べるか、逆に、まず英語の本4冊、次に日本語の本6冊と並べるかです。日本語の本の並べ方は 6! 通り、英語の本の並べ方は 4! 通りあります。積の法則を使ってこれらをかけると、6! · 4! = 17,280 です。日本語の本のまとまりと英語の本のまとまりの順番は2通り（日本語が先か英語が先か）あるので、この数をさらに2倍します。答えは 17,280 · 2 = 34,560 です。