Permutasjoner

En permutasjon er et spesialtilfelle av ordnet utvalg, der vi har en mengde med n elementer og vil finne antall ulike n-tupler.

Formel

La oss repetere ordnet utvalg. Vi har mengden av sifre {1, 2, 3, 4, 5}. Hvor mange tresifrede tall kan vi sette sammen av dem hvis ingen siffer får gjentas? Dette er et typisk eksempel på ordnet utvalg, som kan løses med den kjente formelen

$${}_n{P}_k=\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{5!}{(5-3)!}=60.$$

Hvor mange femsifrede tall kunne vi sette sammen?

$${}_n{P}_k=\frac{5!}{(5-5)!}=\frac{5!}{0!}=5!=120.$$

Vi kan legge merke til at når vi har en mengde med fem elementer og leter etter antall ulike femtupler, er resultatet lik 5!. Dette kan vi generalisere og si at hvis vi har en mengde med n elementer, finnes det til sammen n! ulike n-tupler. Da er vi framme ved begrepet permutasjon.

Hva er en permutasjon

Hvis vi har en mengde M med n elementer, er en permutasjon et hvilket som helst n-tuppel satt sammen av elementer fra mengden M, der ingen elementer får gjentas. Eksempel: Hvis vi har mengden M = {a, b, c, d}, er for eksempel (a, b, d, c) og (d, b, a, c) permutasjoner. Antallet ulike permutasjoner er lik

$${}_n{P}_n=n!$$

Løste eksempler

1. Du har til sammen seks bøker og vil sette dem på en hylle i en eller annen rekkefølge. Hvor mange ulike rekkefølger finnes det til sammen? Vi har seks bøker og permuterer alltid alle bøkene, så resultatet er lik 6! = 720.

2. Til de 6 norske bøkene dine fra forrige eksempel har det kommet til 4 bøker skrevet på latin. Hvor mange ulike måter finnes det å sette disse 10 bøkene på hylla hvis du vil ha alle de norske bøkene sammen og alle de latinske bøkene sammen?

   Hvilke muligheter har vi for å sette bøkene på hylla? Vi kan først sette inn de seks norske bøkene og deretter de fire latinske, eller omvendt — først de fire latinske og så de seks norske. Det finnes 6! måter å sette de norske bøkene på og 4! måter å sette de latinske bøkene på. Vi bruker multiplikasjonsprinsippet og multipliserer disse resultatene: 6! · 4! = 17 280. Siden det finnes to muligheter for hvordan vi kan sette bøkene (norske først, så latinske, og omvendt), må vi multiplisere dette tallet med to. Det endelige resultatet er 17 280 · 2 = 34 560.