Μεταθέσεις

Η μετάθεση είναι ειδική περίπτωση διάταξης, όπου έχουμε ένα σύνολο με ν στοιχεία και θέλουμε να βρούμε το πλήθος όλων των διαφορετικών διατεταγμένων ν-άδων.

Ο τύπος

Ας θυμηθούμε τις διατάξεις. Έστω το σύνολο των ψηφίων {1, 2, 3, 4, 5}. Πόσους τριψήφιους αριθμούς μπορούμε να φτιάξουμε από αυτά, αν κανένα ψηφίο δεν επιτρέπεται να επαναλαμβάνεται; Αυτό είναι χαρακτηριστικό παράδειγμα διατάξεων, που λύνεται με τον γνωστό τύπο

$${\mathrm{\Delta }}_{\nu }^{\kappa }=\frac{\nu !}{(\nu -\kappa )!}=\frac{5!}{(5-3)!}=60.$$

Πόσους πενταψήφιους αριθμούς θα μπορούσαμε να φτιάξουμε;

$${\mathrm{\Delta }}_5^5=\frac{5!}{(5-5)!}=\frac{5!}{0!}=5!=120.$$

Παρατηρούμε ότι αν έχουμε ένα σύνολο πέντε στοιχείων και ψάχνουμε το πλήθος όλων των διαφορετικών πεντάδων, το αποτέλεσμα είναι 5!. Μπορούμε να το γενικεύσουμε και να πούμε ότι αν έχουμε ένα σύνολο με ν στοιχεία, τότε υπάρχουν συνολικά ν! διαφορετικές διατεταγμένες ν-άδες. Έτσι φτάνουμε στην έννοια της μετάθεσης.

Τι είναι η μετάθεση

Αν έχουμε ένα σύνολο A με ν στοιχεία, τότε μετάθεση είναι οποιαδήποτε διατεταγμένη ν-άδα που αποτελείται από στοιχεία του συνόλου A, χωρίς κανένα στοιχείο να επαναλαμβάνεται. Παράδειγμα: αν έχουμε το σύνολο A = {a, b, c, d}, τότε μετάθεση είναι για παράδειγμα η (a, b, d, c) ή η (d, b, a, c). Το πλήθος όλων των διαφορετικών μεταθέσεων είναι ίσο με

$$M_{\nu }={\mathrm{\Delta }}_{\nu }^{\nu }=\nu !$$

Λυμένα παραδείγματα

1. Έχεις συνολικά έξι βιβλία και θέλεις να τα τοποθετήσεις σε ένα ράφι με κάποια σειρά. Πόσες διαφορετικές σειρές υπάρχουν συνολικά; Έχουμε έξι βιβλία, μεταθέτουμε πάντα όλα τα βιβλία, άρα το αποτέλεσμα είναι ίσο με M₆ = 6! = 720.

2. Στα 6 ελληνικά βιβλία του προηγούμενου παραδείγματος προστέθηκαν 4 βιβλία γραμμένα στα λατινικά. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορείς να τοποθετήσεις αυτά τα 10 βιβλία στο ράφι, αν θέλεις όλα τα ελληνικά να είναι μαζί και όλα τα λατινικά να είναι μαζί;

   Ποιες δυνατότητες έχουμε για να τοποθετήσουμε τα βιβλία; Μπορούμε πρώτα να τοποθετήσουμε τα έξι ελληνικά βιβλία και μετά τα τέσσερα λατινικά ή αντίστροφα – πρώτα τα τέσσερα λατινικά και μετά τα έξι ελληνικά. Ισχύει ότι υπάρχουν 6! τρόποι να τοποθετηθούν τα ελληνικά βιβλία και 4! τρόποι να τοποθετηθούν τα λατινικά. Χρησιμοποιούμε την πολλαπλασιαστική αρχή και πολλαπλασιάζουμε αυτά τα αποτελέσματα: 6! · 4! = 17.280. Επειδή υπάρχουν δύο δυνατότητες για την τοποθέτηση των βιβλίων (πρώτα τα ελληνικά και μετά τα λατινικά και αντίστροφα), πολλαπλασιάζουμε αυτόν τον αριθμό ακόμα επί δύο. Το τελικό αποτέλεσμα είναι 17.280 · 2 = 34.560.