Permutaties

Een permutatie is een speciaal geval van een variatie, namelijk dat waarin we een verzameling met n elementen hebben en het aantal van alle verschillende n-tallen willen weten.

De formule

We herhalen eerst de variaties. Neem de verzameling cijfers {1, 2, 3, 4, 5}. Hoeveel driecijferige getallen kunnen we ermee maken als geen enkel cijfer twee keer mag voorkomen? Dat is een typisch voorbeeld van een variatie, dat we kunnen oplossen met de bekende formule voor het aantal permutaties van k uit n:

$$\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{5!}{(5-3)!}=60.$$

Hoeveel vijfcijferige getallen kunnen we maken?

$$\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{5!}{(5-5)!}=\frac{5!}{0!}=5!=120.$$

We zien dat als we een verzameling van vijf elementen hebben en het aantal van alle verschillende vijftallen zoeken, het resultaat 5! is. Dat kunnen we generaliseren: als we een verzameling van n elementen hebben, bestaan er in totaal n! verschillende n-tallen. Hiermee komen we bij het begrip permutatie.

Wat is een permutatie

Als we een verzameling M met n elementen hebben, dan is een permutatie elk n-tal dat is opgebouwd uit elementen van M, waarbij geen enkel element twee keer mag voorkomen. Voorbeeld: als M = {a, b, c, d}, dan is bijvoorbeeld (a, b, d, c) of (d, b, a, c) een permutatie. Het aantal van alle verschillende permutaties van n elementen is gelijk aan

$$n!$$

Uitgewerkte voorbeelden

1. Je hebt zes boeken en wilt ze in een bepaalde volgorde op een plank zetten. Hoeveel verschillende volgordes zijn er? We hebben zes boeken en we permuteren steeds alle boeken, dus het resultaat is 6! = 720.

2. Bij je 6 Nederlandse boeken uit het vorige voorbeeld zijn er 4 Latijnse boeken bijgekomen. Op hoeveel manieren kun je deze 10 boeken op de plank zetten als je alle Nederlandse boeken bij elkaar wilt hebben en alle Latijnse boeken bij elkaar?

   Welke mogelijkheden hebben we om de boeken neer te zetten? We kunnen eerst de zes Nederlandse boeken neerzetten en daarna de vier Latijnse, of juist andersom: eerst de vier Latijnse en dan de zes Nederlandse. Daarbij zijn er 6! manieren om de Nederlandse boeken neer te zetten en 4! manieren om de Latijnse boeken neer te zetten. We gebruiken de vermenigvuldigingsregel en vermenigvuldigen deze resultaten: 6! · 4! = 17 280. Omdat er twee mogelijkheden zijn om de boeken neer te zetten (eerst de Nederlandse en dan de Latijnse, of andersom), vermenigvuldigen we dit getal nog met twee. Het eindresultaat is 17 280 · 2 = 34 560.