暗証番号は何通りあるか
自転車に、4けたの番号を設定できるダイヤル錠がついているとしましょう。あるいは、キャッシュカードに同じような4けたの暗証番号を設定したいとします。番号は何通りあるでしょうか。計算してみましょう。
4けたの番号は何通りあるか
番号が0から9までの数字1つだけなら、何通りあるでしょうか。0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9の、全部で10通りです。
数字をもう1つ増やして、2けたの番号にしたら何通りになるでしょうか。1つ目のダイヤルを0に合わせ、2つ目のダイヤルで0から9までのすべての数字を順に試すと考えます。
00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09
10通りになります。次に、1つ目のダイヤルを0から1に変えて、同じことをします。
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
さらに10通りです。こうして、1つ目のダイヤルですべての数字を試し、9まで続けます。
90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99
つまり、10通りずつの列が全部で10列できます。すべての列の番号を合わせると、2けたのダイヤル錠では 10 · 10 通り、つまり100通りになります。
このように続けていきます。ダイヤルを3つにすると、番号の数はまた10倍になります。したがって、3けたの番号は 10 · 10 · 10、つまり1,000通りです。そして、4けたの番号は
通りになります。ここまでずっと、積の法則を使ってきました。つまり、どのダイヤルにも10個の異なる数字がある4けたのダイヤル錠なら、番号の数は累乗を使って次のように計算できます。
ダイヤルが3つで、それぞれ英語のアルファベットのAからZまでの26文字から1文字を選べるなら、全部で
通りになります。
暗証番号をすべて試すには
ダイヤル錠や暗証番号をすべて試す必要があるときは、とにかく順序よく進めることが大切です。0から9までの数字がついた4けたのダイヤル錠なら、0000から始めて、いちばん右の数字を順に大きくしていきます。
0000, 0001, 0002, …, 0009
次に、右から2つ目のダイヤルを回し、またいちばん右の数字を回して、すべての番号を試します。
0010, 0011, 0012, …, 0019
さらに右から2つ目のダイヤルを回し、またすべての番号を試します。
0020, 0021, 0022, …, 0029
0099まで来たら、右から3つ目のダイヤルを回して、さらに続けます。
0100, 0101, 0102, …, 0199
最後に試す番号は9999です。ここまで来れば、すべての番号を試したことになります。