Permutationen

Eine Permutation ist ein Spezialfall der Variation, bei dem wir eine Menge mit n Elementen haben und die Anzahl aller verschiedenen n-Tupel bestimmen wollen.

Formel

Wiederholen wir zunächst die Variationen. Gegeben sei die Menge der Ziffern {1; 2; 3; 4; 5}. Wie viele dreistellige Zahlen können wir daraus bilden, wenn keine Ziffer wiederholt werden darf? Das ist eine typische Aufgabe zu Variationen, die sich mit der bekannten Formel lösen lässt

$$V(k;n)=\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{5!}{(5-3)!}=60.$$

Wie viele fünfstellige Zahlen könnten wir bilden?

$$V(k;n)=\frac{5!}{(5-5)!}=\frac{5!}{0!}=5!=120.$$

Wir können bemerken: Haben wir eine Menge mit fünf Elementen und suchen die Anzahl aller verschiedenen Fünf-Tupel, so ist das Ergebnis gleich 5!. Das können wir verallgemeinern und sagen: Haben wir eine Menge mit n Elementen, so gibt es insgesamt n! verschiedene n-Tupel. Damit sind wir beim Begriff der Permutation.

Was ist eine Permutation

Haben wir eine Menge M der Größe n, so ist eine Permutation ein beliebiges n-Tupel aus Elementen der Menge M, in dem kein Element wiederholt werden darf. Beispiel: Haben wir die Menge M = {a; b; c; d}, so ist eine Permutation zum Beispiel (a, b, d, c) oder (d, b, a, c). Die Anzahl aller verschiedenen Permutationen ist gleich

$$P(n)=V(n;n)=n!$$

Gelöste Beispiele

1. Du hast insgesamt sechs Bücher und willst sie in irgendeiner Reihenfolge in ein Regal stellen. Wie viele verschiedene Reihenfolgen gibt es? Wir haben sechs Bücher, wir permutieren immer alle Bücher, das Ergebnis ist also P(6) = 6! = 720.

2. Zu deinen 6 deutschen Büchern aus dem letzten Beispiel sind 4 Bücher auf Latein hinzugekommen. Auf wie viele verschiedene Arten kannst du diese 10 Bücher ins Regal stellen, wenn alle deutschen Bücher zusammenstehen sollen und alle lateinischen Bücher zusammenstehen sollen?

   Welche Möglichkeiten haben wir, die Bücher aufzustellen? Wir können zuerst die sechs deutschen Bücher aufstellen und danach die vier lateinischen oder umgekehrt – zuerst die vier lateinischen und dann die sechs deutschen. Dabei gibt es 6! Möglichkeiten, die deutschen Bücher aufzustellen, und 4! Möglichkeiten, die lateinischen Bücher aufzustellen. Wir wenden die Produktregel an und multiplizieren diese Ergebnisse: 6! · 4! = 17.280. Weil es zwei Möglichkeiten gibt, die Bücher aufzustellen (deutsche, dann lateinische und umgekehrt), multiplizieren wir diese Zahl noch mit zwei. Das Gesamtergebnis ist 17.280 · 2 = 34.560.