Permutazioni

La permutazione è un caso particolare di disposizione: abbiamo un insieme di n elementi e vogliamo trovare il numero di tutte le n-uple diverse.

Formula

Ripassiamo le disposizioni. Prendiamo l’insieme di cifre {1, 2, 3, 4, 5}: quanti numeri di tre cifre possiamo formare con esse, se nessuna cifra può essere ripetuta? È un tipico esempio di disposizioni, che si risolve con la formula che già conosci

$$D_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{5!}{(5-3)!}=60.$$

Quanti numeri di cinque cifre potremmo formare?

$$D_{n,k}=\frac{5!}{(5-5)!}=\frac{5!}{0!}=5!=120.$$

Possiamo notare che, se abbiamo un insieme di cinque elementi e cerchiamo il numero di tutte le cinquine diverse, il risultato è uguale a 5!. Possiamo generalizzare e dire che, se abbiamo un insieme di n elementi, esistono in tutto n! n-uple diverse. Arriviamo così al concetto di permutazione.

Che cos’è una permutazione

Se abbiamo un insieme M di n elementi, la permutazione è una qualsiasi n-upla formata da elementi dell’insieme M, in cui nessun elemento può essere ripetuto. Esempio: se abbiamo l’insieme M = {a, b, c, d}, una permutazione è per esempio (a; b; d; c) oppure (d; b; a; c). Il numero di tutte le permutazioni diverse è uguale a

$$P_n=D_{n,n}=n!$$

Esercizi svolti

1. Hai in tutto sei libri e vuoi sistemarli su uno scaffale in un certo ordine. Quanti ordini diversi esistono? Abbiamo sei libri, permutiamo sempre tutti i libri, quindi il risultato è uguale a P₆ = 6! = 720.

2. Ai tuoi 6 romanzi dell’esercizio precedente si sono aggiunti 4 libri di latino. In quanti modi diversi puoi sistemare questi 10 libri sullo scaffale, se vuoi tenere tutti i romanzi vicini e tutti i libri di latino vicini?

   Quali possibilità abbiamo per sistemare i libri? Possiamo sistemare prima i sei romanzi e poi i quattro libri di latino, oppure al contrario: prima i quattro libri di latino e poi i sei romanzi. Inoltre esistono 6! modi di sistemare i romanzi e 4! modi di sistemare i libri di latino. Usiamo il principio del prodotto e moltiplichiamo questi risultati: 6! · 4! = 17.280. Poiché esistono due possibilità di sistemare i libri (prima i romanzi e poi i libri di latino, o viceversa), moltiplichiamo ancora questo numero per due. Il risultato finale è 17.280 · 2 = 34.560.