確率

ある事象の確率は、その事象が起こる見込みがどれくらいあるかを表します。典型的な例は、ふつうのさいころをふることです。「5の目が出る確率はいくつか」と考えることができます。確率は、0以上1以下の数（区間 [0, 1] の数）か、パーセント、つまり0%から100%で表します。

関連する定義

くり返し行うことができ、結果が偶然によって決まる行為を試行といいます。たとえば、さいころをふることや、くじを引くことは試行です。次に、試行で起こりうるすべての結果の集合を考えます。たとえば、さいころでは1から6までの目が出るので、起こりうるすべての結果の集合（全事象。U で表します）は U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} となります。くじなら、出る可能性のあるすべての組合せです。

全事象の部分集合 A ⊆ U を事象といいます。たとえば、事象「さいころで偶数の目が出る」は A = {2, 4, 6} と書けます。事象「さいころで5より大きい目が出る」は A = {6} と書けます。ほかの事象も同じように書けます。さいころをふって（つまり試行を行って）目 x が出たとき、x ∈ A なら事象が起こったといい、そうでなければ事象は起こらなかったといいます。事象「さいころで偶数の目が出る」で x = 2 が出たなら、x ∈ A、つまり 2 ∈ {2, 4, 6} なので、事象は起こりました。

特別な事象が2つあります。全事象と空事象です。どの試行でもかならず起こる事象は全事象で、A = U を意味します。さいころなら、事象「7より小さい目が出る」です。これはかならず起こります。その反対が空事象で、A = ∅ と表され、言葉で言えばたとえば「さいころで植木鉢の目が出る」です。まあ、さいころをふっているときに植木鉢が棚から落ちてくることはあるかもしれませんが、さいころに植木鉢の目が出ることはありません。さいころには1から6の目しかないからです。

事象の確率

事象の確率は、その事象が起こることをどれくらい期待できるかを表します。さいころでは、5の目そのものより偶数の目のほうがよく出る、とだれでも感じるでしょう。確率は、この感覚を正確な数に直してくれます。まず、必要になる前提を確認しておきます。

試行について、次のことが成り立つとします。

• 起こりうる結果が有限個であること（つまり、U が有限集合であること）。
• 2つの結果が同時に出ないこと（たとえば、さいころで3と6が同時に出ることはありません）。
• どの結果も同様に確からしいこと（たとえば、さいころで4が出る見込みは、6や1が出る見込みと同じです）。

最初の2つの条件はかなり自然ですが、最後の条件は少し制限が強いです。それでも、ここではこれで十分です。このとき、事象 A の確率を P(A) で表すと、次のようになります。

$$P(A)=\frac{|A|}{|U|}.$$

言いかえると、その事象が起こる場合の数を、起こりうるすべての場合の数で割ったものです。（この式の縦線は、集合の要素の個数を表します。）たとえば、さいころで偶数の目が出る確率は、次のようになります。

$$P(\text{偶数})=\frac{|\{2,4,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0.5.$$

確率は、よくパーセントで表します。計算した確率に100をかけて、パーセントにするだけです。0.5 · 100% = 50% です。確率50%は、偶数の目が出る見込みと出ない見込みが同じであることを表します。さいころには偶数の目が3つ、奇数の目が3つあるので、これは理にかなっています。

全事象の確率は 1、空事象の確率は 0 です。なぜでしょうか。全事象 J では J = U、空事象 N では N = ∅ だと述べました。これらの事象を式に代入すると、次のようになります。

$$P(J)=\frac{|U|}{|U|}=1;P(N)=\frac{|\mathrm{\varnothing }|}{|U|}=\frac{0}{|U|}=0.$$

例題

1. さいころで5の目が出る確率はいくつでしょうか。これは簡単です。その事象が起こる結果の集合は A = {5} だけで、すべての結果の集合はやはり U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} です。式に代入します。

   $$P(A)=\frac{|\{5\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{1}{6}=16.666\dots \mathrm{\%}$$

2. さいころで3で割り切れる目が出る確率はいくつでしょうか。さいころの目のうち、3で割り切れるものを調べる必要があります。3と6だけなので、その事象が起こる結果の集合は B = {3, 6} です。あとはいつもどおりです。

   $$P(B)=\frac{|\{3,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}=33.333\dots \mathrm{\%}$$

3. 今度は、2つのさいころを同時にふってみましょう。2つとも6の目が出る確率はいくつでしょうか。まず、U、つまりすべての結果の集合を求めなければなりません。起こりうるすべての場合を数える必要があります。1つ目のさいころで1が出たら、2つ目のさいころでは1から6の目が出ます。これで6通りです。1つ目のさいころで2が出たら、2つ目のさいころでは、やはり1から6の目が出ます。これでさらに6通りです。1つ目のさいころで出るすべての目について、同じように続けます。すべての場合は次のとおりです。

   $$\begin{array}{rcl}& U=& (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\\ & & \dots \\ & & (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\end{array}$$

   全部で6行あり、どの行にも6通りあります。全部で 6 · 6 = 36 通りの目の出方があります。そのうち、事象が起こるのはいくつでしょうか。6の目が2つ出てほしいので、(6, 6) の1通りだけです。したがって、確率は次のようになります。

   $$P(C)=\frac{|\{(6,6)\}|}{|U|}=\frac{1}{36}=2.777\dots \mathrm{\%}$$

4. 2つのさいころをふるとき、2つとも同じ目が出る確率はいくつでしょうか。すべての結果の数は、前の例と同じく36です。では、事象が起こる結果はいくつあるでしょうか。2つのさいころで同じ目が出るのは6通りだけです。D = {(1, 1), (2, 2), …, (6, 6)}。式に代入します。

   $$P(D)=\frac{|D|}{|U|}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}=16.666\dots \mathrm{\%}$$

5. 白と黒の2つのさいころをふるとき、白いさいころで3、黒いさいころで5が出る確率はいくつでしょうか。U の要素の個数はやはり36です。事象が起こる結果の集合 E はどうなるでしょうか。(3, 5) の場合だけを含みます。したがって、確率は次のようになります。

   $$P(E)=\frac{|E|}{|U|}=\frac{1}{36}=2.777\dots \mathrm{\%}$$

6. 白と黒の2つのさいころをふるとき、3と5の目が出る確率はいくつでしょうか。前の例に似ていますが、3が白いさいころ、5が黒いさいころに出ることは求めていません。要するに、一方のさいころで3、もう一方で5が出ればよいのです。そのため、場合が増えます。(3, 5) のほかに、(5, 3) の場合もあります。したがって、この事象 F の確率は次のようになります。

   $$P(F)=\frac{|F|}{|U|}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}=5.555\dots \mathrm{\%}$$

7. 2つのさいころをふるとき、少なくとも1つは6の目が出る確率はいくつでしょうか。順に考えましょう。1つ目のさいころで6が出たら、2つ目のさいころでは1から5の目が出ます。これで5通りです。2つ目のさいころで6が出たら、1つ目のさいころでは1から5の目が出ます。これでさらに5通りです。最後に、2つとも6が出る場合があり、これで1通りです。全部で 5 + 5 + 1 = 11 通りです。事象が起こる結果の集合 G は次のとおりです。G = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6)}。確率は次のようになります。

   $$P(G)=\frac{|G|}{|U|}=\frac{11}{36}=30.555\dots \mathrm{\%}$$

8. クラスに生徒が30人います。歴史の授業では、先生が毎回2人を指名します。まだだれも指名されていないとき、翔太くんが指名される確率はいくつでしょうか。確率を求めるには、生徒の2人組が何通りあるかと、そのうち一方が翔太くんである2人組が何通りあるかを計算する必要があります。先生が生徒を指名する順番は関係ないので、組合せを使います。

   あとは簡単です。生徒は全部で30人で、そこから異なる2人組がいくつつくれるかを考えます。組合せの数は次のとおりです。

   $${}_{30}{\mathrm{C}}_2=435$$

   では、翔太くんを含む2人組はいくつあるでしょうか。2人のうち1人が翔太くんなら、翔太くんと組になれる生徒は全部で29人残っています（自分とは組になれないので、30から1をひいて29です）。これで、すべての場合の数と、事象が起こる場合の数がわかったので、式に代入します。

   $$P(H)=\frac{29}{435}=0.0666\dots =6.666\dots \mathrm{\%}$$

   注：2人組の総数は、組合せを使わなくても計算できます。30人のクラスで、すべての2人組をどうやってつくれるでしょうか。生徒を1人ずつ選び、その生徒にほかの全員を順に組み合わせればよいのです。たとえば健太くんを選び、ほかのすべての生徒と組にすると、29組ができます。これを30人の生徒全員について行います。全部で 30 · 29 = 870 組です。ただし、どの組も2回ずつ数えています。1回は (健太, さくら) として、もう1回は (さくら, 健太) としてです（健太くんがほかの生徒を組み合わせる側だったか、さくらさんに組み合わせられる側だったかによります）。そこで、この結果を2で割ると、答えが得られます。870 / 2 = 435 です。

9. 12足の靴が入っている靴箱から靴を3つ取り出したとき、3つとも左足用である確率はいくつでしょうか。これは、きっといつか知りたくなったことのある、身近な例です。まず、靴箱から取り出せる3つの靴の組合せが全部で何通りあるかを計算しましょう。靴を取り出す順番は関係ないので、組合せが必要です。靴は全部で24個あり、3個を取り出します。次のようになります。

   $${}_{24}{\mathrm{C}}_3=2024$$

   これで、靴箱から取り出せる3つの靴の組合せは、全部で2024通りだとわかりました。次に、事象が起こる組合せ、つまり左足用の靴だけを含む3つの靴の組合せを数えます。靴箱には左足用の靴が全部で12個あります。この12個からつくれる組合せの数を計算するだけです。これもやはり組合せになります。

   $${}_{12}{\mathrm{C}}_3=220$$

   左足用の靴だけを含む組合せは220通りです。知りたいことはこれで全部なので、式に代入します。

   $$P(I)=\frac{220}{2024}=0.108695\dots =10.8695\dots \mathrm{\%}$$

   つまり、3つの靴を取り出して、すべて左足用になる確率は、およそ10%です。