Permutações

A permutação é um caso particular de arranjo, em que temos um conjunto com n elementos e queremos saber o número de todas as n-uplas diferentes.

Fórmula

Vamos relembrar os próprios arranjos. Considere o conjunto de algarismos {1, 2, 3, 4, 5}: quantos números de três algarismos conseguimos formar com eles, se nenhum algarismo pode se repetir? Esse é um exemplo típico de arranjo, que pode ser resolvido com a conhecida fórmula

$$A_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{5!}{(5-3)!}=60.$$

Quantos números de cinco algarismos conseguiríamos formar?

$$A_{n,k}=\frac{5!}{(5-5)!}=\frac{5!}{0!}=5!=120.$$

Podemos notar que, se temos um conjunto de cinco elementos e procuramos o número de todas as quíntuplas diferentes, o resultado é igual a 5!. Podemos generalizar e dizer que, se temos um conjunto com n elementos, então existem ao todo n! n-uplas diferentes. Assim chegamos ao conceito de permutação.

O que é uma permutação

Se temos um conjunto M com n elementos, então uma permutação é qualquer n-upla formada por elementos do conjunto M, sem que nenhum elemento se repita. Exemplo: se temos o conjunto M = {a, b, c, d}, então uma permutação é, por exemplo, (a, b, d, c) ou (d, b, a, c). O número de todas as permutações diferentes é igual a

$$P_n=A_{n,n}=n!$$

Exercícios resolvidos

1. Você tem seis livros ao todo e quer guardá-los em uma prateleira em alguma ordem. Quantas ordens diferentes existem? Temos seis livros e sempre permutamos todos eles, então o resultado é igual a P₆ = 6! = 720.

2. Aos seus 6 livros de português do exemplo anterior se juntaram 4 livros de latim. De quantas maneiras diferentes é possível guardar esses 10 livros na prateleira, se você quer ter todos os de português juntos e todos os de latim juntos?

   Que possibilidades temos para guardar os livros? Podemos guardar primeiro os seis livros de português e depois os quatro de latim ou, ao contrário, primeiro os quatro de latim e depois os seis de português. Nesse caso, existem 6! maneiras de guardar os livros de português e 4! maneiras de guardar os de latim. Usamos o princípio multiplicativo e multiplicamos esses resultados: 6! · 4! = 17.280. Como existem duas possibilidades de guardar os livros (primeiro os de português e depois os de latim, e vice-versa), ainda multiplicamos esse número por dois. O resultado final é 17.280 · 2 = 34.560.