Permutaciones

La permutación es un caso particular de variación, en el que tenemos un conjunto de n elementos y queremos averiguar el número de todas las n-uplas distintas.

Fórmula

Repasemos las variaciones. Sea el conjunto de cifras {1, 2, 3, 4, 5}. ¿Cuántos números de tres cifras podemos formar con ellas si ninguna cifra puede repetirse? Es un ejemplo típico de variaciones, que se resuelve con la fórmula conocida

$$V_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{5!}{(5-3)!}=60.$$

¿Cuántos números de cinco cifras podríamos formar?

$$V_{n,k}=\frac{5!}{(5-5)!}=\frac{5!}{0!}=5!=120.$$

Podemos observar que si tenemos un conjunto de cinco elementos y buscamos el número de todas las quíntuplas distintas, el resultado es igual a 5!. Esto se puede generalizar y decir que si tenemos un conjunto de n elementos, existen en total n! n-uplas distintas. Así llegamos al concepto de permutación.

Qué es una permutación

Si tenemos un conjunto M de n elementos, una permutación es cualquier n-upla formada por elementos del conjunto M, de manera que ningún elemento se repita. Ejemplo: si tenemos el conjunto M = {a, b, c, d}, una permutación es, por ejemplo, (a, b, d, c) o (d, b, a, c). El número de todas las permutaciones distintas es igual a

$$P_n=V_{n,n}=n!$$

Ejercicios resueltos

1. Tienes seis libros en total y quieres colocarlos en una estantería en algún orden. ¿Cuántos órdenes distintos existen? Tenemos seis libros, permutamos siempre todos los libros, así que el resultado es igual a P₆ = 6! = 720.

2. A tus 6 libros en español del ejemplo anterior se han sumado 4 libros escritos en latín. ¿De cuántas formas distintas se pueden colocar estos 10 libros en la estantería si quieres tener todos los de español juntos y todos los de latín juntos?

   ¿Qué posibilidades tenemos para colocar los libros? Podemos colocar primero los seis libros en español y después los cuatro en latín o al revés: primero los cuatro en latín y luego los seis en español. Además, existen 6! formas de colocar los libros en español y 4! formas de colocar los libros en latín. Aplicamos el principio de multiplicación y multiplicamos estos resultados: 6! · 4! = 17 280. Como hay dos posibilidades de colocar los libros (primero español y luego latín, y al revés), multiplicamos además este número por dos. El resultado final es 17 280 · 2 = 34 560.