モンティ・ホール問題

3つの扉の問題は、モンティ・ホール問題とも呼ばれ、多くの人を混乱させる確率の問題です。

問題

扉が3つあります。司会者のモンティ・ホールは、1つの扉の向こうに車を、残りの扉の向こうにヤギを置きます。課題は、車がある扉を見つけて選ぶことです。ここで司会者は、3つの扉のうち1つを選ぶように言います。扉を A, B、C としましょう。そこで扉を1つ、たとえば B を選びます。次に司会者は、残りの扉、つまり A, C のうち、ヤギがいる扉を1つ開けます。つまり、まちがいなくはずれの扉を教えてくれるのです。司会者は扉 A を開けたとしましょう。

この問題のポイントは、次の段階にあります。司会者は、選択を変えてもよいと言います。最初に扉 B を選び、司会者は扉 A の向こうに車はないと教えて、選択を扉 C に変えてもよいと言っています。もちろん、最初の選択 B のままでもかまいません。

どうしますか。車がある可能性が高いのは扉 B でしょうか、それとも扉 C でしょうか。それとも、どちらでも同じでしょうか。

解答

扉は3つあります。1つはもうゲームから外れたので、実際には扉は2つしか残っていません。この2つのうち一方の向こうには、かならず車があります。残りの2つの扉については何もわからず、ほかに手がかりもありません。したがって、確率はもちろんどちらの扉も50%です。

多くの人はだいたいこのように考えるので、そう思ったとしても気にすることはありません。しかし、この答えはもちろんまちがいです。

正しい解答

司会者が開けずに残した扉に、選択を変えたほうが得です。理解するために、最初から確率を順に書き出してみましょう。最初に扉を選ぶとき、その扉の向こうに車がある確率は 1/3 です。ほかに手がかりはないので、確率はどの扉にも均等に 1/3 ずつ割りふられます。

つまり、扉 B を選ぶと、その向こうに車がある見込みは 1/3 です。言いかえると、車が扉 A か C の向こうにある確率は 2/3 です。つまり、車は選ばなかった扉の向こうにある可能性のほうが高いのです。これが大切なところです。

次の段階で、司会者は車のない扉を1つ開けます。司会者は扉 A を開けます。つまり、扉 A の向こうに車はありません。では、確率 2/3 はどうなるでしょうか。車が扉 A か C の向こうにある確率は 2/3 で、しかも扉 A の向こうにはないことがわかっています。そこで、確率 2/3 は扉 C に移ります。車が扉 C の向こうにある見込みは 2/3 です。

一方、扉 B の見込みは変わらず、そのままです。つまり、選んだ扉 B の向こうに車がある見込みは 1/3、選択を変えられる扉 C の向こうにある見込みは 2/3 です。したがって、選択を変えるのが賢明です。

扉がもっと多い場合

扉の数を増やして、問題を次のように変えると、わかりやすいかもしれません。扉が10個あるとします。はじめに挑戦者が扉を1つ選び、司会者は、選んだ扉と車がある扉を除くすべての扉を開けます。問題は前の例とほとんど同じです。前の例でも司会者は残りの扉を「すべて」開けていましたが、それ以上は開けられないので、1つだけ開けたのです。

はじめに扉 1 を選びます。その向こうに車がある見込みは 1/10 です。車がほかの扉の向こうにある確率は 9/10 です。次に司会者が、車がまちがいなくない扉を8つ取り除くと、やはり扉が2つだけ残ります。司会者が残した扉の向こうに車がある見込みは 9/10 で、自分で選んだ扉の向こうにある見込みはやはり 1/10 です。

参考リンク

• ウィキペディア