Permutări

Permutarea este un caz particular de aranjament, în care avem o mulțime cu n elemente și vrem să aflăm numărul tuturor n-uplurilor diferite.

Formula

Să reluăm mai întâi aranjamentele. Fie mulțimea de cifre {1, 2, 3, 4, 5}. Câte numere de trei cifre putem forma cu ele, dacă nicio cifră nu poate fi folosită de două ori? Este un exemplu tipic de aranjamente, care se rezolvă cu formula cunoscută

$$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{5!}{(5-3)!}=60.$$

Câte numere de cinci cifre am putea forma?

$$A_5^5=\frac{5!}{(5-5)!}=\frac{5!}{0!}=5!=120.$$

Observăm că, dacă avem o mulțime cu cinci elemente și căutăm numărul tuturor grupelor ordonate de câte cinci elemente, rezultatul este 5!. Putem generaliza și spune că, pentru o mulțime cu n elemente, există în total n! n-upluri diferite. Ajungem astfel la noțiunea de permutare.

Ce este o permutare

Dacă avem o mulțime M cu n elemente, atunci o permutare este orice n-uplu format cu elemente din mulțimea M, în care niciun element nu se repetă. Exemplu: dacă avem mulțimea M = {a, b, c, d}, atunci o permutare este, de pildă, (a, b, d, c) sau (d, b, a, c). Numărul tuturor permutărilor diferite este egal cu

$$P_n=A_n^n=n!$$

Exemple rezolvate

1. Ai șase cărți și vrei să le așezi pe un raft într-o anumită ordine. Câte ordini diferite există? Avem șase cărți, permutăm de fiecare dată toate cărțile, deci rezultatul este P₆ = 6! = 720.

2. La cele 6 cărți în limba română din exemplul anterior s-au adăugat 4 cărți scrise în latină. În câte moduri diferite poți așeza cele 10 cărți pe raft, dacă vrei ca toate cărțile în română să stea împreună și toate cărțile în latină să stea împreună?

   Ce posibilități avem să așezăm cărțile? Putem așeza mai întâi cele șase cărți în română și apoi cele patru în latină sau invers – mai întâi cele patru în latină și apoi cele șase în română. În același timp, există 6! moduri de a așeza cărțile în română și 4! moduri de a așeza cărțile în latină. Folosim regula produsului și înmulțim aceste rezultate: 6! · 4! = 17.280. Deoarece există două posibilități de a așeza cărțile (întâi cele în română, apoi cele în latină, și invers), mai înmulțim acest număr cu doi. Rezultatul final este 17.280 · 2 = 34.560.

Surse și lecturi suplimentare

• Bělohlávek, Vychodil: Diskrétní matematika (în limba cehă)