Permutációk

A permutáció a variáció speciális esete, amikor adott egy n elemű halmaz, és a különböző n-esek számát keressük.

A képlet

Ismételjük át először a variációkat. Legyen adott az {1, 2, 3, 4, 5} számjegyhalmaz. Hány háromjegyű számot tudunk belőlük összeállítani, ha egyetlen számjegy sem ismétlődhet? Ez tipikus variációs feladat, amelyet az ismert képlettel oldhatunk meg:

$$V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{5!}{(5-3)!}=60.$$

Hány ötjegyű számot tudnánk összeállítani?

$$V_5^5=\frac{5!}{(5-5)!}=\frac{5!}{0!}=5!=120.$$

Észrevehetjük, hogy ha van egy ötelemű halmazunk, és a különböző ötösök számát keressük, az eredmény 5!. Ezt általánosíthatjuk: ha van egy n elemű halmazunk, akkor összesen n! különböző n-es létezik. Ezzel eljutunk a permutáció fogalmához.

Mi a permutáció

Ha van egy n elemű M halmazunk, akkor permutáció az M elemeiből alkotott tetszőleges n-es, amelyben egyetlen elem sem ismétlődik. Példa: ha az M = {a, b, c, d} halmazunk van, akkor permutáció például az (a; b; d; c) vagy a (d; b; a; c). Az összes különböző permutáció száma

$$P_n=V_n^n=n!$$

Megoldott példák

1. Összesen hat könyved van, és valamilyen sorrendben fel akarod őket rakni egy polcra. Hány különböző sorrend létezik? Hat könyvünk van, mindig az összes könyvet permutáljuk, ezért az eredmény P₆ = 6! = 720.

2. Az előző példa 6 magyar könyve mellé még 4 latin nyelvű könyv került. Hányféleképpen rakhatod fel ezt a 10 könyvet a polcra, ha az összes magyar könyvet egymás mellé akarod rakni, és az összes latint is egymás mellé?

   Milyen lehetőségeink vannak? Felrakhatjuk először a hat magyar könyvet, utána a négy latint, vagy fordítva – először a négy latint, aztán a hat magyart. A magyar könyveket 6! módon, a latin könyveket 4! módon rendezhetjük el. Alkalmazzuk a kombinatorikai szorzatszabályt, és ezeket az eredményeket összeszorozzuk: 6! · 4! = 17 280. Mivel kétféleképpen rakhatjuk fel a könyveket (magyarok, aztán latinok, és fordítva), ezt a számot még megszorozzuk kettővel. A végeredmény: 17 280 · 2 = 34 560.