Permutations

Une permutation est un cas particulier d’arrangement : on a un ensemble de n éléments et l’on cherche le nombre de tous les n-uplets différents que l’on peut former avec ses éléments.

Formule

Rappelons les arrangements. Avec l’ensemble de chiffres {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}, combien de nombres à trois chiffres peut-on former si aucun chiffre ne doit être répété ? C’est un exemple typique d’arrangement, que l’on résout avec la formule connue :

$$\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{5!}{(5-3)!}=60.$$

Et combien de nombres à cinq chiffres peut-on former ?

$$\frac{5!}{(5-5)!}=\frac{5!}{0!}=5!=120.$$

On remarque que si l’on a un ensemble de cinq éléments et que l’on cherche le nombre de tous ses 5-uplets, le résultat est 5!. On peut généraliser : un ensemble de n éléments admet au total n! n-uplets différents. C’est ainsi que l’on arrive à la notion de permutation.

Qu’est-ce qu’une permutation

Si l’on a un ensemble M de taille n, une permutation est tout n-uplet formé d’éléments de M, sans qu’aucun élément ne se répète. Par exemple, si M = {a ; b ; c ; d}, une permutation est (a ; b ; d ; c) ou (d ; b ; a ; c). Le nombre de permutations différentes est

$$n!$$

Exercices corrigés

1. Tu as six livres et tu veux les ranger sur une étagère dans un ordre quelconque. Combien d’ordres différents existe-t-il ? On a six livres et l’on permute tous les livres, donc le résultat vaut 6! = 720.

2. Aux 6 livres tchèques de l’exercice précédent s’ajoutent 4 livres en latin. Combien de façons existe-t-il de ranger ces 10 livres sur l’étagère, si tu veux que tous les livres tchèques soient ensemble et que tous les livres latins le soient aussi ?

   Quelles sont les possibilités ? On peut d’abord ranger les six livres tchèques, puis les quatre livres latins, ou l’inverse : d’abord les quatre livres latins, puis les six livres tchèques. Il existe 6! façons de ranger les livres tchèques et 4! façons de ranger les livres latins. On applique le principe multiplicatif et on multiplie ces résultats : 6! · 4! = 17 280. Comme il existe deux possibilités pour ranger les groupes (tchèques puis latins, ou l’inverse), on multiplie encore ce nombre par deux. Le résultat total est 17 280 · 2 = 34 560.