Funkcja kwadratowa
Funkcja kwadratowa to taka funkcja, którą można zapisać wzorem f(x) = ax2 + bx + c, gdzie a, b, c są liczbami rzeczywistymi, a do tego a ≠ 0. Tak jak wykresem funkcji liniowej jest zawsze prosta, tak wykresem funkcji kwadratowej jest zawsze parabola.
Przykład funkcji kwadratowej
Przykładem prostej funkcji kwadratowej może być f(x) = x2 + 3x − 7. Wykres tej funkcji wyglądałby tak:
Funkcję kwadratową możemy schematycznie zapisać jako ax2 + bx + c. Wyraz ax2 nazywa się wyrazem kwadratowym i każda funkcja kwadratowa musi go mieć. Kolejny wyraz bx nazywa się wyrazem liniowym i w funkcji kwadratowej nie musi występować — może być równy zeru. Na przykład funkcja f(x) = 5x2 + 7 nadal jest funkcją kwadratową. Ostatni wyraz c nazywa się wyrazem wolnym i też nie jest obowiązkowy. Dla funkcji f(x) = x2 + 3x − 7 mamy więc
$$ a = 1, b = 3, c = -7 $$
Dlaczego a wynosi jeden? Bo zapis x2 tak naprawdę oznacza 1 · x2, dlatego a = 1.
Własności funkcji kwadratowej
Zacznijmy od dziedziny: dziedziną funkcji kwadratowej jest ℝ, czyli zbiór liczb rzeczywistych. Zbiór wartości zależy od konkretnej funkcji, ale zawsze sięga do (plus albo minus) nieskończoności. Funkcja kwadratowa jest też zawsze po jednej stronie wierzchołka rosnąca, a po drugiej malejąca. Jeśli wyraz liniowy jest równy zeru (b = 0), funkcja kwadratowa jest parzysta. Funkcja kwadratowa nigdy nie jest różnowartościowa.
Ograniczenie z góry lub z dołu
Funkcja kwadratowa jest zawsze albo ograniczona z góry, albo z dołu. Zależy to wyłącznie od współczynnika a. Jeśli współczynnik a jest dodatni, to wykres funkcji „rośnie do góry”, wygląda jak litera „U” i jest przez to ograniczony z dołu. Przykładem jest funkcja f(x) = 2x2 z wykresem:
Widzimy, że wszystkie wartości funkcji (wszystkie czerwone punkty) leżą powyżej liczby −1, więc funkcja jest ograniczona z dołu. Gdybyśmy mieli funkcję f(x) = −2x2:
to z kolei wszystkie wartości funkcji leżałyby poniżej liczby 1, więc funkcja byłaby ograniczona z góry.
Wypukłość i wklęsłość
Wypukłość i wklęsłość znowu zależą od współczynnika a. Funkcja kwadratowa jest wypukła, jeśli ma kształt litery „U”, a wklęsła, jeśli ma kształt odwróconej litery „U”. Czyli jeśli a > 0, wykres jest wypukły, a jeśli a < 0, wykres jest wklęsły.
Współczynnik a wpływa też na to, czy wykres będzie wąski, czy szeroki. Im bardziej jego wartość zbliża się do zera, tym szerszy jest wykres, i na odwrót.
Punkty przecięcia z osią x i y
Jeśli chcemy obliczyć punkty przecięcia wykresu funkcji z osią x lub y, wystarczy ułożyć proste równanie i je rozwiązać. Trzeba tylko pamiętać, że funkcję możemy zapisać w postaci y = ax2 + bx + c, co oznacza, że współrzędną y w punkcie x = 2 znajdziemy, podstawiając dwójkę za każde x.
Na przykład dla funkcji y = x2 − 4x + 3 w punkcie x = 2 dostaniemy współrzędną y równą 22 − 4 · 2 + 3 = −1. Wykres funkcji na pewno przechodzi więc przez punkt (2, −1). Jeśli chcemy obliczyć punkty przecięcia z osią x, to tak naprawdę interesuje nas wartość x, dla której y = 0. Punkt przecięcia z osią x ma zawsze współrzędną y równą 0 — spójrz na poniższy wykres, a wszystko stanie się jasne.
Dlatego w zapisie y = x2 − 4x + 3 wystarczy podstawić zero za y i rozwiązać równanie. Otrzymane pierwiastki (miejsca zerowe funkcji) to współrzędne x punktów przecięcia.
$$ x^2-4x+3 = 0 $$
To jest równanie kwadratowe, które możemy rozwiązać standardowymi metodami. Możemy je na przykład zapisać w postaci iloczynowej (x − 1) · (x − 3), z czego wynika, że pierwiastki to x1 = 1 i x2 = 3.
Jeśli chcemy znaleźć punkt przecięcia z osią y, postępujemy tak samo. Bierzemy zapis y = x2 − 4x + 3 i tym razem podstawiamy zero za x. W gruncie rzeczy pytamy, jaka jest wartość funkcji w punkcie x = 0:
$$ 0^2-4\cdot0+3=3 $$
Punkty przecięcia z osią x to zatem (1, 0) i (3, 0), a z osią y punkt (0, 3).
Jak obliczyć współrzędne wierzchołka
W przypadku funkcji kwadratowej bardzo ważne jest też wyznaczenie jej wierzchołka. Żebyś nie musiał pamiętać dość skomplikowanego wzoru, pokażemy inny sposób, który wykorzystuje sprowadzenie do postaci kanonicznej (uzupełnianie do pełnego kwadratu). Wierzchołek funkcji kwadratowej to punkt, w którym funkcja ma minimum lub maksimum. Funkcja f(x) = x2 − 4x + 3, której wykres wygląda tak:
ma wierzchołek w punkcie (2, −1).
Postać ogólna funkcji kwadratowej wygląda tak: f(x) = ax2 + bx + c. Przekształcimy tę funkcję do postaci kanonicznej g(x) = (x + m)2 + n, gdzie (−m, n) jest wierzchołkiem funkcji kwadratowej. Dla naszej funkcji chcemy więc dostać postać (x − 2)2 − 1. Jak ją otrzymać?
Najpierw zapiszemy sam nawias: (x + m), a za m podstawimy połowę wartości współczynnika b z funkcji kwadratowej. Współczynnik b wynosi minus cztery, jego połowa to minus dwa, więc dostajemy taki zapis: (x − 2)2.
Teraz pora na drugi krok: musimy odjąć to, co jest nadmiarowe. Gdybyś wymnożył ten nawias, nie wyszedłby poprawny wynik — nie dostalibyśmy wyjściowej funkcji. Od nawiasu trzeba jeszcze odjąć kwadrat m i dodać współczynnik c z wyjściowej funkcji.
Konkretnie więc od nawiasu odejmujemy (−2)2 i dodajemy trzy (współczynnik c):
$$ (x - 2)^2 − 4 + 3 $$
Po uproszczeniu dostajemy
$$ (x - 2)^2 − 1, $$
co jest ostatecznym wynikiem. Ponieważ funkcja ma postać (x + m)2 + n, gdzie m = −2, n = −1, wiemy, że wierzchołek ma współrzędne (−m, n), czyli (2, −1).
Powinniśmy jeszcze sprawdzić, czy dobrze liczyliśmy. Przekształciliśmy tylko funkcję kwadratową x2 − 4x + 3 do postaci (x − 2)2 − 1. Ta nowa postać powinna jednak opisywać tę samą funkcję, więc jeśli wymnożymy nawias, powinniśmy otrzymać wyjściową postać funkcji. Spróbujmy więc wymnożyć (x − 2)2 − 1.
$$\begin{eqnarray} (x - 2)^2 − 1 &=& (x-2) \cdot (x-2)-1\\ &=& x^2-4x+4-1\\ &=& x^2-4x+3 \end{eqnarray}$$
Widzimy, że dostaliśmy tę samą funkcję, więc przekształcenia wykonaliśmy poprawnie.