Podstawowe pojęcia statystyki
Statystyka to nauka, która bada, przetwarza i ocenia dane.
Populacja
Celem statystyki jest przeprowadzenie badania, z którego dowiemy się czegoś ciekawego o danej populacji. Populacją (albo zbiorowością statystyczną) nazywamy ogólnie dowolny zbiór elementów, które akurat chcemy badać. Jeśli chcemy sprawdzić, jaki jest średni wiek mieszkańców Polski, to naszą populacją będą wszyscy mieszkańcy Polski.
Jeśli jednak będziemy chcieli poznać średnie zużycie benzyny przez samochody osobowe na sto kilometrów, populacją będzie zbiór wszystkich samochodów osobowych (na danym terytorium).
Próba
Często nie da się pracować ze wszystkimi elementami populacji. Wyobraź sobie, że chcemy się dowiedzieć, co ludzie w Polsce myślą o obowiązkowej maturze z matematyki. Żeby naprawdę poznać zdanie wszystkich, musielibyśmy chodzić od domu do domu, zaglądać pod każdy most i pytać każdego obywatela, co sądzi o obowiązkowej maturze z matematyki. W praktyce coś takiego jest niemożliwe. Kilka powodów:
- Jest to za drogie. Zapytanie blisko trzydziestu ośmiu milionów mieszkańców to niemały wydatek. Na przykład zorganizowanie wyborów prezydenckich kosztuje setki milionów złotych.
- Trwa to za długo. Wybory przygotowuje się wiele miesięcy — jeśli wynik badania potrzebujesz za tydzień, to o wiele za długo.
- Nie wszyscy zechcą odpowiedzieć. Ktoś z zasady nie będzie chciał odpowiadać na twoje pytania. Jeśli naszą populacją są jakieś maszyny, to one z kolei mogą się zepsuć. Gdybyś u samochodów sprawdzał liczbę przejechanych kilometrów, mogłoby się zdarzyć, że licznik się zepsuje albo ktoś go celowo cofnie.
- Badanie może być zbyt niebezpieczne. Od pytania o obowiązkową maturę raczej nikt nie dostanie zawału, ale weźmy inny przykład — testowanie nowego leku „wszystkolek”. Co by się stało, gdybyśmy testowali wszystkolek na całej populacji Polski, a w trakcie testów okazałoby się, że 20% badanych natychmiast dostaje straszliwej biegunki? Cóż, chyba lepiej najpierw przetestować lek na mniejszej grupie ludzi, prawda?
Żeby uniknąć tych wad, wybieramy z populacji tylko jakąś próbę (próbę statystyczną). Jeśli mamy populację P, to próbą V jest dowolny podzbiór P, czyli V ⊆ P. Badanie przeprowadzimy potem tylko na tej próbie V, a wyniki uogólnimy na całą populację. Te wyniki będą oczywiście niedokładne — jak bardzo, zależy przede wszystkim od tego, jak duża jest próba V i jaką metodą wybieraliśmy elementy do V.
Typowe błędy to:
- Zbyt mała liczba elementów w V. Jeśli o obowiązkową maturę zapytasz pierwszych siedem osób, które zobaczysz, nie możesz dostać sensownych wyników.
- Niereprezentatywny wybór elementów z populacji. Jeśli o obowiązkową maturę z matematyki zapytasz tysiąc absolwentów wydziału matematyki, dostaniesz inne odpowiedzi, niż gdybyś zapytał tysiąc uczniów trzecich klas liceum.
Cechy statystyczne
W trakcie badania przyglądamy się elementom próby. Właściwości, które obserwujemy, nazywamy cechami statystycznymi (albo zmiennymi), a wartości, które cecha przyjmuje, nazywamy wartościami cechy. Wyróżniamy podstawowe rodzaje cech:
- Cecha jakościowa: takiej cechy zwykle nie ma sensu mierzyć, jest to jakiś opis słowny. Typowym przykładem jest pytanie o narodowość. Wartościami takiej cechy będą np. „narodowość polska”, „narodowość niemiecka” itp. Nie ma przy tym sensu mierzyć ani porównywać narodowości polskiej i niemieckiej. Możemy porównywać liczby Polaków i Niemców, ale samej narodowości porównywać nie możemy.
Do tej kategorii należy też pytanie o obowiązkową maturę, na które oczekujemy odpowiedzi „tak, chcę obowiązkowej matury z matematyki” albo „nie, nie chcę obowiązkowej matury z matematyki” — to są wartości tej cechy. Znowu możemy porównywać liczby odpowiedzi, ale porównywanie samego „tak” i „nie” nie ma sensu.
- Cecha ilościowa: taką cechę da się zmierzyć. Chodzi więc o długości, masy, czasy, liczby czegoś i tak dalej. Cechy ilościowe dzielimy dalej na skokowe (dyskretne) i ciągłe:
Cecha skokowa (dyskretna)
Cecha skokowa ma skończenie wiele wartości albo przeliczalnie wiele wartości (patrz dalej). Dość często są to liczby całkowite. Na przykład liczba uczniów w klasie — w zwykłej klasie będzie, powiedzmy, coś między piętnaściorgiem a czterdzieściorgiem dzieci.
Cecha skokowa wyróżnia się tym, że zawsze potrafimy powiedzieć, jaka jest następna i poprzednia wartość. Jeśli w klasie 3b jest 28 dzieci, to poprzednią wartością jest 27 dzieci, a następną 29 dzieci. U cechy jakościowej zwykle tego nie potrafimy — jaka wartość następuje po narodowości polskiej?
Cecha skokowa może mieć też nieskończenie wiele wartości, ale musi ich być przeliczalnie wiele — to znaczy, że nadal musimy umieć wskazać poprzednią i następną wartość. Moglibyśmy na przykład wprowadzić cechę „odległość dwóch obiektów z dokładnością do jednego kilometra”. Jeśli zmierzymy, że odległość dwóch obiektów, na przykład samochodu i stodoły, wynosi 12 kilometrów, to następną i poprzednią wartością są odpowiednio 13 i 11 kilometrów. Przy tym odległość najpewniej nie jest w żaden sposób ograniczona. Jeśli mamy dwa obiekty oddalone od siebie o 1 500 000 kilometrów, na pewno znajdziemy i obiekty oddalone o 1 500 001 kilometrów.
Cecha pozostałaby skokowa, nawet gdybyśmy zmienili dokładność na dziesiąte części kilometra (czyli na setki metrów). Wtedy moglibyśmy zmierzyć odległość 15,7 km, a następną i poprzednią wartością byłyby 15,8 i 15,6.
To, że poprzednia lub następna wartość nie istnieje, nie przeczy temu, że cecha jest skokowa. Na przykład dla odległości zero kilometrów nie istnieje poprzednia wartość — odległości minus jeden kilometr nie definiujemy. Mimo to odległość z dokładnością do jednego kilometra jest cechą skokową.
Cecha ciągła
Cecha ciągła ma zawsze nieskończenie wiele wartości. Wartościami są zwykle liczby rzeczywiste, chodzi więc na przykład o odległość (bez dopisku o dokładności). U cech ciągłych nie potrafimy wskazać ani poprzedniej, ani następnej wartości. Jeśli zmierzymy, że odległość czegoś wynosi 3,58745 metra, nie znajdziemy liczby, która byłaby dokładnie za tą liczbą.
W zbiorze liczb rzeczywistych są też liczby niewymierne z nieskończonym rozwinięciem dziesiętnym. My oczywiście nie mamy przyrządów, które potrafiłyby zmierzyć odległość z taką dokładnością, więc w rzeczywistości każda taka cecha i tak jest skokowa — właśnie dlatego, że każdy przyrząd ma jakąś dokładność. Jeśli coś mierzysz linijką, masz dokładność do jednego milimetra. Możesz więc zmierzyć, że książka ma szerokość 167 mm albo 168 mm, ale nic pomiędzy; chyba że to jakoś oszacujesz itp.
Jeśli masz jakiś bardziej naukowy przyrząd, możesz mieć dokładność do jednego mikrometra. Do całkiem dokładnego zmierzenia obiektu to jednak najpewniej i tak nie wystarczy.
Mimo wszystko o odległości czy o masie zwykle mówimy jako o cechach ciągłych. W praktyce takie uproszczenie jest konieczne i zwykle niczemu nie szkodzi.
Zmienna losowa
Zmienna losowa to cecha skokowa lub ciągła, której wartości nie potrafimy ustalić przed przeprowadzeniem doświadczenia. Zmienną losową może więc być wynik rzutu sześcienną kostką do gry. Dopóki nie rzucimy kostką, nie możemy wiedzieć, ile oczek wypadnie.
Może się zdarzyć, że potrafimy przewidzieć, że niektóre wartości będą bardziej prawdopodobne niż inne, to nam nie przeszkadza, byle tylko nie było pewne, że dostaniemy jakąś konkretną wartość. Na przykład gdybyśmy wylosowali jednego mieszkańca Polski i zapytali go, w jakim mieście mieszka, bardziej prawdopodobne jest, że mieszka w Warszawie niż gdzieś w Pcimiu. W Warszawie po prostu mieszka więcej ludzi.
Gdybyśmy mieli kostkę, która na pięciu ściankach ma sześć oczek, a na pozostałej, szóstej ściance dwa oczka, to znacznie bardziej prawdopodobne jest, że w rzucie wypadnie sześć oczek. Nadal jest to jednak zmienna losowa, bo nie jest pewne, że wypadnie sześć oczek.
Gdybyśmy tę kostkę przerobili tak, żeby na wszystkich sześciu ściankach było sześć oczek, rzut kostką nie byłby zmienną losową, bo zawsze wypadłoby nam sześć oczek.