Rozkład jednostajny i normalny

Istnieją dwa typowe rozkłady liczebności, z którymi często spotkamy się też w praktyce. Chodzi o rozkład jednostajny i o rozkład normalny.

Rozkład jednostajny

Rozkład jednostajny oznacza, że w naszym zbiorze wszystkie wartości występują tak samo często. Możemy na przykład policzyć, ile miesięcy miały lata 2000, 2001, …, 2009:

Jeśli rzucimy zwykłą wyidealizowaną kostką, mamy prawdopodobieństwo $\frac16$, że wypadnie nam 1, prawdopodobieństwo $\frac16$, że wypadnie nam 2 itd. Mówimy więc o jednostajnym rozkładzie prawdopodobieństwa, bo każdy wynik ma takie samo prawdopodobieństwo.

Rozkład niejednostajny mielibyśmy, gdybyśmy mieli oszukaną kostkę, na której z prawdopodobieństwem $\frac13$ wypadałaby szóstka. Pozostałe ściany nie mogą mieć także prawdopodobieństwa $\frac13$. Tak samo moglibyśmy policzyć liczbę dni w poszczególnych miesiącach — nie wszystkie miesiące mają tyle samo dni, więc nie byłby to jednostajny rozkład liczebności.

Rozkład normalny

Rozkład normalny nazywa się też czasem rozkładem Gaussa. Używa się go tylko dla ciągłych zmiennych losowych. Standardowy rozkład normalny ma taki kształt:

Ta krzywa jest opisana tak zwaną funkcją Gaussa, która ma postać:

$$ \Large f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{{(x-\mu)}^2}{2\sigma^2}} $$

Funkcja jest dość skomplikowana, nie musisz jej pamiętać. Widzimy jednak, że rozkład normalny możemy opisać za pomocą średniej $\mu$ (wartości oczekiwanej) i odchylenia standardowego $\sigma$, ewentualnie wariancji $\sigma^2$. Dla różnych wartości średniej i odchylenia możemy dostać różne wykresy:

Rozkład normalny jest ważny dlatego, że dość wiernie naśladuje różne rozkłady, z którymi możemy się spotkać w rzeczywistości. Widzimy, że krzywa ma zawsze jedno maksimum globalne i leży ono właśnie w punkcie średniej wartości. Na przykład czerwona krzywa ma maksimum w punkcie X = 0, średnia wartość tej wielkości wynosi więc zero. Krzywa jest symetryczna, a dokładniej osiowo symetryczna względem prostej, która jest prostopadła do osi X i przechodzi przez średnią, czyli przez punkt X = 0. Innymi słowy — krzywa wygląda na lewo od zera tak samo jak na prawo od zera. Zielona krzywa ma te same własności, tylko nie względem zera, ale względem punktu X = −2.

Rozkład normalny może wiernie opisywać rozkład inteligencji czy IQ wśród ludzi. Średnia wartość IQ wynosi — z definicji — 100. Przy tym jest mniej więcej tyle samo ludzi, którzy mają IQ wyższe niż 100, co tych, którzy mają niższe niż 100. Osób trochę mniej inteligentnych od przeciętnej jest mniej więcej tyle samo, co trochę bardziej inteligentnych, a głupków tyle samo co geniuszy. Choć czasem się tak nie wydaje :-). Wykres przedstawiający przybliżony rozkład IQ:

W rozkładzie normalnym dużą rolę odgrywa odchylenie standardowe. Jeśli mamy rozkład, który jest normalny i ma odchylenie standardowe $\sigma$, to około 68% wartości znajduje się w przedziale $\left<\mu-\sigma, \mu+\sigma\right>$. Czyli mniej więcej 68% wartości różni się od średniej co najwyżej o jedno odchylenie standardowe. Około 95% wartości leży w przedziale $\left<\mu-2\sigma, \mu+2\sigma\right>$, a 99,7% wartości w przedziale $\left<\mu-3\sigma, \mu+3\sigma\right>$. Przejrzyście przedstawia to następujący obrazek:

Linki i źródła

• Niektóre obrazki pochodzą z Wikipedii, z artykułów o rozkładzie normalnym i Intelligence.