Liczby rzeczywiste
Liczby rzeczywiste to wszystkie liczby, które da się zapisać za pomocą skończonego albo nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego. Możemy powiedzieć, że liczby rzeczywiste otrzymamy jako sumę zbioru liczb wymiernych i niewymiernych.
Oznaczenie i znaczenie
Liczby rzeczywiste oznaczamy literą R, zwykle z podwójną pionową kreską: ℝ.
Jeśli wyobrazisz sobie nieskończoną oś liczbową, to liczby rzeczywiste odpowiadają wszystkim możliwym odległościom między dwoma punktami, które da się na tej osi znaleźć.
Liczby rzeczywiste obejmują wszystkie liczby naturalne, liczby całkowite, liczby wymierne i liczby niewymierne.
Większość funkcji, z którymi zwykle pracuje się w matematyce, ma za swoją dziedzinę właśnie zbiór liczb rzeczywistych (na przykład sinus i cosinus czy funkcja liniowa) albo jakiś przedział (na przykład logarytm).
Przykłady liczb rzeczywistych: 1, −3, 0,126, −42,47, e, 0, −2π.
Własności
- Liczby rzeczywiste tworzą nieskończony zbiór nieprzeliczalny.
- Zbiór liczb rzeczywistych jest zamknięty ze względu na dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Jeśli weźmiemy dwie liczby rzeczywiste i je pomnożymy, znowu otrzymamy liczbę rzeczywistą.
- Liczba rzeczywista jest albo algebraiczna, czyli jest pierwiastkiem jakiegoś wielomianu o współczynnikach całkowitych, albo przestępna, czyli nie jest pierwiastkiem żadnego takiego wielomianu.
- Każda liczba rzeczywista ma swoją wartość bezwzględną, która oznacza odległość od początku osi liczbowej.
- Każda nieujemna liczba rzeczywista ma pierwiastek kwadratowy, który też jest liczbą rzeczywistą. Natomiast żadna ujemna liczba rzeczywista nie ma pierwiastka kwadratowego, który byłby liczbą rzeczywistą.