Układy równań

W praktyce często trafiamy na sytuację, w której nie rozwiązujemy jednego równania, ale od razu dwa równania jednocześnie (albo jeszcze więcej). Najpierw pokażemy, jak rozwiązać taki układ równań metodą podstawiania. Jeśli chcesz rozwiązywać układy równań za pomocą macierzy, przejdź do artykułu układy równań liniowych.

Podstawy

Układ równań to kilka równań, które rozwiązujemy razem. W układzie równań zwykle mamy też więcej zmiennych niż jedną, więc szukamy takiej kombinacji liczb, żeby po podstawieniu ich za wszystkie zmienne wszystkie równania były prawdziwe.

Przykładem układu równań może być taki układ:

$$\begin{array}{ccccc} a&+&b&=&0\\ 2a&+&b&=&10 \end{array}$$

Wynikiem tego układu powinna być para (albo zbiór par) liczb, którą podstawimy za zmienne a i b, a oba równania pozostaną prawdziwe. Tak na oko widać, że zmienna a musi być równa −b, żeby było spełnione równanie a + b = 0. Kiedy już to wiemy, z drugiego równania łatwo zobaczymy, że a = 10 i b = −10. Po podstawieniu dostaniemy:

$$\begin{array}{ccccc} 10&-&10&=&0\\ 2\cdot10&-&10&=&10 \end{array}$$

No dobrze, rozwiązywanie na oko mamy za sobą, teraz weźmiemy się za porządne algorytmy rozwiązywania układów równań.

Metoda podstawiania

W metodzie podstawiania wyznaczamy jedną z niewiadomych z jednego równania, a wynik wstawiamy potem do drugiego równania. Na początek będziemy więc potrzebować jakiegoś układu. Na przykład takiego:

$$\begin{array}{ccccc} 4x&+&2y&=&6\\ 5x&-&3y&=&13 \end{array}$$

To prosty układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi. Naszym zadaniem jest znaleźć takie wartości zmiennych x i y, żeby oba równania były prawdziwe. Z pierwszego równania wyznaczymy y. Weźmiemy więc samo pierwsze równanie i wyznaczymy z niego y.

$$4x+2y=6$$

Najpierw odejmiemy 4x:

$$2y=6-4x$$

Podzielimy przez dwa:

$$y=3-2x$$

Teraz wiemy, ile wynosi y. Ten wynik możemy podstawić za zmienną y w drugim równaniu. W drugim równaniu zamiast y napiszemy więc 3 − 2x. Co nam to da? To, że w drugim równaniu nie będziemy mieć dwóch zmiennych, tylko jedną, bo w miejsce zmiennej y podstawimy wyrażenie, w którym występuje tylko zmienna x. Podstawiamy więc:

$$\begin{array}{lllll} 5x&-&3y&=&13\quad/y=3-2x\\ 5x&-&3(3-2x)&=&13 \end{array}$$

Teraz już tylko wymnożymy nawias i zredukujemy wyrazy podobne:

$$\begin{array}{rrrll} 5x&-&3(3-2x)&=&13\\ 5x&-&(9-6x)&=&13\\ 5x&-&9+6x&=&13\\ &&11x-9&=&13\\ &&11x&=&22\\ &&x&=&2 \end{array}$$

Znamy już wartość x, jest równa dwóm. Zostaje nam obliczyć wartość y. Zrobimy to tak, że podstawimy znaną już wartość x do któregoś równania, w którym występują obie zmienne — x i y. Możemy wybrać na przykład pierwsze równanie. Podstawiamy tak:

$$\begin{array}{rrcll} 4x&+&2y&=&6\quad/x=2\\ 4\cdot2&+&2y&=&6\\ &&2y&=&6-8\\ &&2y&=&-2\\ &&y&=&-1\\ \end{array}$$

W ten sposób rozwiązaliśmy układ. Układ równań ma jedno rozwiązanie: x = 2 i y = −1. Jeśli chcesz ten wynik sprawdzić, po prostu podstaw go do obu równań. Podstawienie do pierwszego równania:

$$\begin{array}{rrrcl} 4x&+&2y&=&6\quad/x=2, y=-1\\ 4\cdot2&+&2\cdot(-1)&=&6\\ 8&-&2&=&6\\ &&6&=&6 \end{array}$$

I podstawienie do drugiego równania:

$$\begin{array}{rrrcl} 5x&-&3y&=&13\quad/x=2, y=-1\\ 5\cdot2&-&3\cdot(-1)&=&13\\ 10&+&3&=&13\\ &&13&=&13 \end{array}$$

Metoda przeciwnych współczynników

Tę metodę lubię bardziej, ale oczywiście zależy to od konkretnego przykładu. Nie zawsze się nadaje. Opiera się na tym, że dodawanie równań stronami jest przy rozwiązywaniu układów równań przekształceniem równoważnym. Równania dodajemy stronami tak, że dodamy lewą stronę jednego równania do lewej strony drugiego równania, a potem dodamy prawe strony równań. Weźmy ogólnie taki układ równań:

$$\begin{array}{rrrcl} f_1(x)&+&g_1(y)&=&a\\ f_2(x)&+&g_2(y)&=&b \end{array}$$

Dodając te równania, dostalibyśmy jedno równanie postaci:

$$f_1(x)+f_2(x)+g_1(y)+g_2(y)=a+b$$

Dodaliśmy osobno lewe strony i osobno prawe strony. Ale do czego dążymy? Jeśli dodamy dwa równania i zostaną nam dwie zmienne, niewiele nam to pomoże. Dlatego staramy się, żeby po dodaniu obu równań jedna zmienna zniknęła, czyli żeby wyrazy z nią nawzajem się zredukowały. Chcemy więc, żeby suma jednej z par funkcji, albo f, albo g, była równa zeru:

$$f_1(x)+f_2(x)=0 \quad\vee\quad g_1(y)+g_2(y)=0$$

Jak to osiągnąć? Układ równań składa się ze zwykłych równań, do których możemy stosować przekształcenia równoważne równań, tak jak znamy je ze zwykłych typów równań. Możemy więc któreś z równań pomnożyć przez jakąś liczbę i równanie dalej będzie prawdziwe. Spróbujmy tak rozwiązać poprzedni układ równań metodą przeciwnych współczynników. Treść zadania jest taka sama:

$$\begin{array}{ccccc} 4x&+&2y&=&6\\ 5x&-&3y&=&13 \end{array}$$

Gdybyśmy dodali równania od razu, zostałyby nam obie zmienne:

$$4x+5x\ne0,\qquad2y-3y\ne0$$

Dlatego najpierw musimy zastosować jakieś przekształcenia. Spróbujemy sprawić, żeby „zniknęła” zmienna y. Potrzebujemy do tego, żeby współczynniki przy y w obu równaniach były równe co do wartości bezwzględnej, ale miały przeciwne znaki. Szukamy więc najmniejszej wspólnej wielokrotności, czyli 6. Prosty sposób to pomnożyć współczynniki: dwa razy trzy to sześć — liczba sześć na pewno dzieli się przez obie liczby (uwaga: ten sposób nie gwarantuje najmniejszej wspólnej wielokrotności, ale znajdzie liczbę podzielną przez oba współczynniki).

Chcemy więc dostać przy y w każdym równaniu szóstkę. Pierwsze równanie pomnożymy przez trzy, drugie przez dwa:

$$\begin{array}{ccccc} 4x&+&2y&=&6\quad/\cdot3\\ 5x&-&3y&=&13\quad/\cdot2 \end{array}$$

Dostajemy:

$$\begin{array}{ccccc} 12x&+&6y&=&18\\ 10x&-&6y&=&26 \end{array}$$

Teraz dodamy równania stronami:

$$\begin{eqnarray} 12x+10x+6y-6y&=&18+26\\ 22x+0y&=&44 \end{eqnarray}$$

Dostaliśmy jedno równanie z jedną niewiadomą, które już łatwo rozwiążemy:

$$\begin{eqnarray} 22x+0y&=&44\\ 22x&=&44\\ x&=&2 \end{eqnarray}$$

Widzimy, że wyszedł nam ten sam wynik co w poprzedniej metodzie, metodzie podstawiania. Teraz znów wystarczy podstawić x do któregoś równania i dostaniemy wynik y = −1. Sprawdzenie też wyglądałoby dokładnie tak samo.

Liczba rozwiązań

Układ równań nie musi mieć dokładnie jednego rozwiązania. Może mieć też nieskończenie wiele rozwiązań albo przeciwnie, nie mieć żadnego. Krótko o tym, kiedy tak się dzieje. Jeśli mamy dwa równania z dwiema niewiadomymi i jedno z nich możemy otrzymać z drugiego za pomocą jakichś przekształceń równoważnych, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań (taki układ nazywamy nieoznaczonym). Przykładem niech będzie układ

$$\begin{array}{rrrcl} x&+&y&=&2\\ 2x&+&2y&=&4 \end{array}$$

Widzimy, że jeśli pierwsze równanie pomnożymy przez dwa, dostaniemy dokładnie drugie równanie. Drugie równanie nie wnosi więc o układzie żadnej „nowej informacji”, w praktyce jest zbędne. W efekcie każde rozwiązanie równania

$$x+y=2$$

jest jednocześnie rozwiązaniem całego układu. Na przykład pary (1,1) i (−3, 5) są rozwiązaniami pierwszego równania, a zarazem całego układu.

Układ nie ma natomiast żadnego rozwiązania (jest sprzeczny), jeśli są w nim równania, które się wzajemnie wykluczają i nie mogą być prawdziwe jednocześnie. Na przykład:

$$\begin{array}{rrrcl} x&+&y&=&2\\ x&+&y&=&4 \end{array}$$

Suma x + y nie może być jednocześnie równa dwóm i czterem, dlatego układ nie ma żadnego rozwiązania. Jeszcze kilka przykładów:

Przykład pierwszy

Rozwiąż następujący układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi:

$$\begin{array}{rrrcl} 7x&+&3y&=&21\\ 14x&+&9y&=&0 \end{array}$$

Po krótkim spojrzeniu na układ widać, że to kandydat na metodę przeciwnych współczynników. Współczynnik przy x jest w drugim równaniu dwa razy większy niż w pierwszym, a współczynnik przy y jest w drugim równaniu trzy razy większy. Wystarczy więc pomnożyć pierwsze równanie przez minus dwa albo przez minus trzy i dodać równania stronami. Spróbujmy wyeliminować na przykład zmienną x, więc pomnożymy pierwsze równanie przez −2. Dostajemy:

$$\begin{array}{rrrcl} -14x&-&6y&=&-42\\ 14x&+&9y&=&0 \end{array}$$

Dodajemy te dwa równania stronami i dostajemy

$$\begin{eqnarray} 14x-14x+9y-6y&=&-42\\ 3y&=&-42\\ y&=&-14 \end{eqnarray}$$

Mamy pierwszy wynik naszego układu. Podstawimy go do któregoś równania, znów możemy wybrać samo pierwsze równanie:

$$\begin{eqnarray} 7x+3y&=&21\quad/y=-14\\ 7x+3\cdot(-14)&=&21\\ 7x-42&=&21\\ 7x&=&63\\ x&=&9 \end{eqnarray}$$

Mamy więc rozwiązanie układu równań: x = 9 i y = −14.

Przykład drugi

Rozwiąż następujący układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi:

$$\begin{array}{rcl} (x + 4)(y - 2)& =& (x - 2)(y + 13)\\ (x - 1)(y - 3) &= &(x + 2)(y - 5) \end{array}$$

Wygląda to trochę dziko, ale damy radę. Przede wszystkim musimy wymnożyć nawiasy, bez tego daleko nie zajdziemy.

$$\begin{eqnarray} xy - 2x + 4y - 8 &=& xy + 13x - 2y - 26\\ xy - 3x - y + 3 &=& xy - 5x + 2y - 10 \end{eqnarray}$$

Teraz przekształcimy równania do wygodniejszej postaci: zmienne przeniesiemy na lewą stronę równania, a wyrazy wolne na prawą, i zredukujemy, co się da.

$$\begin{array}{rrrcl} -15x& +& 6y &=& -18\\ 2x &-& 3y& =& -13 \end{array}$$

Z tych nieładnie wyglądających równań dostaliśmy całkiem przyzwoity układ równań i możemy zastosować któryś z klasycznych sposobów. Możemy na przykład pomnożyć drugie równanie przez dwa i dodać je stronami do pierwszego. Po pomnożeniu drugiego równania przez dwa dostajemy:

$$\begin{array}{rrrcl} -15x& +& 6y &=& -18\\ 4x &-& 6y& =& -26 \end{array}$$

Teraz dodamy oba równania stronami, klasyczną metodą przeciwnych współczynników:

$$\begin{eqnarray} 4x-15x+6y-6y&=&-18-26\\ -11x&=&-44\\ 11x&=&44\\ x&=&4 \end{eqnarray}$$

Świetnie, jeden wynik już znamy. Podstawimy go do któregoś z równań i obliczymy y. Możemy go podstawić na przykład do równania 2x− 3y = −13 i dostaniemy:

$$\begin{eqnarray} 2x - 3y &=& -13\quad/x=4\\ 8 - 3y &=& -13\\ -3y &=& -21\\ -y &=& -7\\ y&=&7 \end{eqnarray}$$

Mamy już pełne rozwiązanie układu równań: układ ma rozwiązanie x = 4 i y = 7.