Wzory Cramera

Wzory Cramera stosuje się do rozwiązywania układów równań liniowych, w których macierz układu jest nieosobliwa.

Układ Cramera

Weźmy układ równań liniowych Ax = b. Taki układ nazwiemy układem Cramera, jeśli A jest kwadratową macierzą nieosobliwą. Oznacza to, że wyznacznik tej macierzy jest zawsze różny od zera, więc macierz nie ma żadnych liniowo zależnych wierszy ani kolumn.

Zgodnie z twierdzeniem Kroneckera-Capellego każdy układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie. Twierdzenie Kroneckera-Capellego mówi, że jeśli rank(A) = rank(A|b) = k, to układ ma rozwiązanie. Macierz A układu Cramera jest kwadratowa i ma największy możliwy rząd. Oznacza to, że jeśli do tej macierzy dopiszemy dowolną kolejną kolumnę, to ta kolumna musi być kombinacją liniową kolumn macierzy A. Dopisując kolumnę z macierzy b, nie zwiększymy więc rzędu macierzy A.

Twierdzenie Kroneckera-Capellego mówi też, że do zapisania rozwiązania potrzebujemy n − k parametrów, gdzie n to liczba niewiadomych, a k to rząd macierzy, rank(A|b). W układzie Cramera zachodzi n = k, więc do zapisania rozwiązania nie potrzebujemy żadnego parametru. Dlatego każdy układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Dalej oznaczmy przez A_i macierz A zmienioną tak, że w miejscu i-tej kolumny ma kolumnę b. Formalnie macierz A_i definiujemy tak:

$$ A_i=\begin{pmatrix} a_{1{,}1}&…&a_{1,i-1}&b_1&a_{1,i+1}&…&a_{1,n}\\ a_{2{,}1}&…&a_{2,i-1}&b_2&a_{2,i+1}&…&a_{2,n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{n,1}&…&a_{n,i-1}&b_n&a_{n,i+1}&…&a_{n,n}\\ \end{pmatrix} $$

gdzie a_ij to elementy macierzy A, a b_i elementy macierzy b.

Wzory Cramera

Niech Ax = b będzie układem Cramera. Wzory Cramera mówią, że ten układ ma dokładnie jedno rozwiązanie (x₁, x₂, …, x_n), gdzie

$$x_i=\frac{\mbox{det }A_i}{\mbox{det } A}=\frac{|A_i|}{|A|}.$$

Od razu pokażemy je na małym przykładzie. Rozwiążemy następujący układ za pomocą wzorów Cramera.

$$ \begin{array}{ccccccccc} x_1&+&2x_2&=&5\\ 4x_1&+&3x_2&=&15& \end{array} $$

Macierz układu będzie miała postać:

$$ A=\begin{pmatrix} 1&2\\ 4&3 \end{pmatrix} $$

Wyznacznik macierzy jest równy:

$$|A| = 3 - 8 = -5.$$

Dalej utworzymy macierze A₁ i A₂. Będą miały postać:

$$ A_1=\begin{pmatrix} 5&2\\ 15&3 \end{pmatrix},\qquad A_2=\begin{pmatrix} 1&5\\ 4&15 \end{pmatrix} $$

Obliczymy wyznaczniki tych macierzy:

$$\begin{eqnarray} |A_1|&=&5\cdot3-15\cdot2=-15\\ |A_2|&=&1\cdot15-4\cdot5=-5 \end{eqnarray}$$

I po kolei obliczymy x₁ i x₂. Zgodnie ze wzorami Cramera dla x₁ zachodzi równość

$$x_1=\frac{|A_1|}{|A|}$$

Po podstawieniu mamy więc

$$x_1=\frac{-15}{-5}=3$$

To samo dla drugiej niewiadomej x₂:

$$x_2=\frac{|A_2|}{|A|}=\frac{-5}{-5}=1$$

Rozwiązaniem układu równań jest więc para (x₁, x₂) = (3, 1).

Wzory Cramera przydają się przede wszystkim wtedy, gdy chcesz zapisać postępowanie jako algorytm, bo łatwo je zaprogramować. Ręczne rozwiązywanie układu wzorami Cramera bywa zwykle bardziej pracochłonne niż rozwiązywanie go metodą eliminacji Gaussa.