Zbiory

Zbiór można rozumieć jako zestaw elementów. Każdy zbiór zawiera więc pewną liczbę elementów, która może być skończona albo nieskończona. Zbiór może też nie zawierać żadnego elementu, wtedy mówimy o zbiorze pustym. Zbiór oznaczamy zwykle wielką drukowaną literą, na przykład M, a elementy zbioru małą literą m.

Czym jest zbiór

Zbiór jest jednym z podstawowych pojęć matematyki, za pomocą którego definiuje się mnóstwo innych rzeczy. Dobrze jest więc od razu na początku wyjaśnić sobie, czym jest zbiór, żeby potem w nauce nie błądzić.

Zbiór to zatem jakiś zestaw dowolnych elementów. W matematyce najczęściej pracujemy ze zbiorami liczbowymi, czyli ze zbiorami, których elementami są liczby. Klasyczny zapis zbioru w matematyce wygląda tak:

$$M=\left\{1{,}2,3\right\}$$

W ten sposób opisaliśmy zbiór o nazwie „M”, który zawiera trzy elementy: jedynkę, dwójkę i trójkę. Zbiory zawsze zapisujemy w nawiasach klamrowych – praktycznie zawsze, gdy zobaczysz nawiasy klamrowe, chodzi o jakiś zbiór.

Do czego możemy używać zbiorów? Zbiory często określają, spośród jakich elementów możemy wybierać. Na przykład w życiu codziennym mógłbyś powiedzieć coś w rodzaju: „Aniu, zagramy w grę, dobra? Pomyśl sobie liczbę od jednego do pięciu.” W ten sposób wyznaczyłeś Ani pewien zakres liczb, spośród których może wybierać. W matematyce użyłbyś do tego zbioru:

$$L=\left\{1{,}2,3{,}4,5\right\}$$

A potem mógłbyś Ani powiedzieć: „Aniu, zagramy w grę, dobra? Pomyśl sobie jakąś liczbę, która należy do zbioru L.” Gra od razu zrobiłaby się ciekawsza. W matematyce do zapisu, że element należy do zbioru, używamy znaku ∈, a gdy nie należy, użyjemy $ \notin$. Jeśli więc chcemy powiedzieć, że jedynka należy do zbioru L, ale siódemka nie, zapisalibyśmy to tak: 1 ∈ L i $7 \notin L$.

Zbiór może być oczywiście pusty, do czego służy albo zapis P = {}, albo prościej P = ∅. Oba zapisy oznaczają „zbiór pusty”. Uważaj jednak: gdybyś zapisał to tak: P = {∅}, zapisałbyś zbiór, który zawiera w sobie zbiór pusty. To nie to samo co zbiór pusty.

Kolejność i powtórzenia

O zbiorze nie mówimy, że ma elementy jakoś uporządkowane. Zbiór zawiera nieuporządkowany zestaw elementów. Gdybyśmy mieli dwa zbiory A = {1, 2, 3} i B = {3, 2, 1}, powiemy, że są równe. Kolejność elementów w zbiorze po prostu nie ma znaczenia.

Tak samo nie interesują nas powtarzające się elementy. Jeśli zbiór zawiera kilka takich samych elementów (kilka takich samych liczb), zawsze bierzemy pod uwagę tylko jedno wystąpienie danego elementu. Znowu: gdybyśmy mieli takie dwa zbiory A = {1, 1, 2, 2, 2} i B = {2, 1}, uznalibyśmy je za równe. Nie przeszkadza, że zbiór A zawiera „więcej” elementów, bo zawiera elementy podwojone czy potrojone. Przy obliczeniach na zbiorach takie powtórzenia po prostu odfiltrowujemy.

Liczba elementów i równość

Możemy zdefiniować pojęcie liczby elementów zbioru (ogólniej, także dla zbiorów nieskończonych, mówi się o mocy zbioru). W poprzednim przykładzie A = {1, 1, 2, 2, 2} i B = {2, 1} byłoby więc tak, że liczba elementów zbioru A wynosi dwa, ale liczba elementów zbioru B również wynosi dwa, bo także przy liczeniu elementów zbioru nie interesują nas powtórzenia. Liczbę elementów zbioru zapisujemy między kreskami pionowymi: |A| = |B| = 2.

Jak już pewnie się domyślasz, dwa zbiory są równe, jeśli oba mają te same elementy. Kilka przykładów:

$$\begin{eqnarray} \left\{1, 2, 3\right\}&=&\left\{1, 2, 3\right\}\\ \left\{1, 2, 3\right\}&=&\left\{1, 2, 3, 2, 3, 1\right\}\\ \left\{a, h, o, j\right\}&=&\left\{o, o, h, j, a, o\right\}\\ \left\{1, 3, 5, 9\right\}&\ne&\left\{1, 3, 9\right\}\\ \emptyset&\ne&\left\{x\right\} \end{eqnarray}$$

Ważną własnością jest to, że zbiory mogą zawierać jako swój element znowu zbiór. Przykład: C = {1, 2, {3, 4, 5, 6}}. Trzeba sobie uświadomić, że zbiór C jest trzyelementowy, a nie sześcioelementowy. Zbiór C zawiera trzy elementy: jedynkę, dwójkę i zbiór. Elementy 3, 4, 5 i 6 zawiera zbiór wewnętrzny, a nie zbiór C. Zachodzi więc |C| = 3. Trudniejszy przykład:

$$D=\left\{0, \left\{1, \left\{2, 3\right\}\right\}, \left\{4\right\}\right\}$$

Ile elementów zawiera zbiór D? Zawiera trzy elementy, są to te elementy:

$$D_1=0,\qquad D_2=\left\{1, \left\{2{,}3\right\}\right\},\qquad D_3=\left\{4\right\}$$

Zbiór może być skończony albo nieskończony. Skończone są wszystkie zbiory, o których dotąd wspominaliśmy. Nieskończony jest na przykład zbiór wszystkich liczb.

Podzbiór

Weźmy dwa zbiory A = {1, 2} i B = {1, 2, 3}. Te zbiory są różne, bo nie zawierają tych samych elementów, zbiór B jest większy. Na pewno jednak zauważyłeś, że zbiór B zawiera dokładnie te same elementy co zbiór A, tylko ma dodatkowo element 3. W takiej sytuacji możemy powiedzieć, że A jest podzbiorem B.

Jeśli A jest podzbiorem B, to wszystkie elementy, które zawiera zbiór A, musi zawierać także zbiór B. Bycie podzbiorem jest relacją, którą zapisujemy za pomocą symbolu ⊆. Definicja formalna:

$$A \subseteq B \Leftrightarrow \forall x \in A:\quad x \in B$$

Zwykle zakłada się, że zbiory A i B mogą być równe, a mimo to będzie zachodzić A ⊆ B. Jeśli chcemy wyrazić ostrą wersję podzbioru, użyjemy innego symbolu: ⊂. Wtedy jeśli A ⊂ B, to zbiór B musi być większy (jeśli jest skończony) – musi zawierać element, którego zbiór A nie zawiera. Taki zbiór nazywamy wtedy „podzbiorem właściwym”. Czyli jeśli A ⊂ B, to A jest podzbiorem właściwym B. Definicja podzbioru właściwego:

$$A \subset B \Leftrightarrow (A\subseteq B \quad\wedge\quad A \ne B)$$

Definicja jest taka sama jak w przypadku zwykłego podzbioru, tylko oba zbiory nie mogą być równe. Kilka przykładów:

$$\begin{eqnarray} \left\{a, h, o\right\}&\subseteq&\left\{a, h, o, j\right\}\\ \left\{a, h, o\right\}&\subset&\left\{a, h, o, j\right\}\\ \left\{2, 4, 6\right\}&\subseteq&\left\{2, 4, 6, 8, \ldots\right\}\\ \left\{2, 4, 6\right\}&\subset&\left\{2, 4, 6, 8, \ldots\right\}\\ \left\{1, 2, 3\right\}&\not\subseteq&\left\{1, 3\right\}\\ \left\{1, 2, 3\right\}&\not\subset&\left\{1, 3\right\}\\ \left\{0, 1\right\}&\subseteq&\left\{0, 1\right\}\\ \left\{0, 1\right\}&\not\subset&\left\{0, 1\right\}\\ \emptyset&\subseteq&\left\{\pi\right\}\\ \emptyset&\subset&\left\{\pi\right\}\\ \emptyset&\subseteq&\left\{\emptyset\right\}\\ \emptyset&\subset&\left\{\emptyset\right\}\\ \left\{0\right\}&\not\subseteq&\emptyset\\ \left\{0\right\}&\not\subset&\emptyset\\ \left\{\diamond, \bigtriangleup, \odot, \ddagger, \wr\right\}&\subseteq&\left\{\diamond, \bigtriangleup, \odot, \ddagger, \wr, \star, \bullet, \mp\right\}\\ \left\{\diamond, \bigtriangleup, \odot, \ddagger, \wr\right\}&\subset&\left\{\diamond, \bigtriangleup, \odot, \ddagger, \wr, \star, \bullet, \mp\right\} \end{eqnarray}$$

Własności podzbioru:

• A ⊆ A: zbiór jest zawsze swoim podzbiorem.
• A ⊄ A: zbiór nigdy nie jest swoim podzbiorem właściwym.
• ∅ ⊆ A: zbiór pusty jest podzbiorem dowolnego zbioru.
• A ⊄ ∅: zbiór pusty nie ma żadnego podzbioru właściwego.

Za pomocą podzbiorów możemy zapisać równość zbiorów:

$$A = B \quad\Leftrightarrow\quad A \subseteq B \wedge B \subseteq A$$

Jeśli oba zbiory są równe, to każdy z nich jest podzbiorem drugiego.

Relację bycia podzbiorem nazywamy też „inkluzją” albo „zawieraniem się” zbiorów.

Zbiór potęgowy

Zbiór potęgowy to zbiór wszystkich podzbiorów danego zbioru. Oznacza się go zwykle albo P(M), albo 2^M.

Przykład: M = {1, 2, 3}. Jakie są wszystkie podzbiory? Na pewno zbiór pusty i sam zbiór M. Dalej: {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}. Wszystkie te zbiory tworzą zbiór potęgowy zbioru M. Zapiszemy: P(M) = {∅, M, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}.

Ponieważ zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru, a M jest zawsze podzbiorem M, zawsze będzie zachodzić ∅ ∈ P(M) i M ∈ P(M).

Jak zapisać zbiór

Jeden sposób już poznaliśmy: zwykłe wypisanie elementów. Używamy do tego nawiasów klamrowych: M = {1, 2, 3} albo N = {a, b, c, d} itp. Jeśli zapisujemy zbiór nieskończony, możemy użyć trzech kropek, o ile jest jasne, jak ciąg elementów będzie się dalej układał: M = {1, 2, 3, …}

Głównym sposobem zapisu zbioru jest podanie jego własności charakterystycznej, czyli warunku, który spełniają jego elementy. Ogólnie zapis wyglądałby tak: {x ∈ X | P(x)}, gdzie X to zbiór, z którego wybieramy elementy, a P(x) to jakaś formuła, która określa elementy zbioru. Formuła może być zapisana czysto matematycznie albo słownie. Zamiast „|” używa się też średnika: „;”.

Na przykład: „niech zbiór M zawiera wszystkie liczby, które oznaczają jakiś dzień miesiąca”. Miesiąc ma najwyżej 31 dni, więc taki zbiór miałby 31 elementów, od 1 do 31. Moglibyśmy go zapisać za pomocą wielokropka tak: M = {1, 2, 3, …, 30, 31}. Inny zapis tego samego zbioru mógłby wyglądać tak: $\left\{x \in \mathbb{Z} | \mbox{x oznacza dzień miesiąca}\right\}$, gdzie ℤ oznacza zbiór liczb całkowitych.

Bardziej matematyczny przykład mógłby brzmieć: „niech zbiór P zawiera wszystkie liczby dodatnie, które są podzielne przez pięć”. Wtedy ten zbiór wyglądałby tak: P = {5, 10, 15, 20, 25,…}

Spróbujmy zapisać matematycznie zbiór T liczb naturalnych mniejszych od dziesięciu: T = {x ∈ ℕ | x<10}. Ten zapis mówi: zbiór T składa się z elementów x, które bierzemy ze zbioru liczb naturalnych i które spełniają warunek, że są mniejsze od 10. Patrzymy więc na liczby naturalne i zostawiamy tylko te, które są mniejsze od dziesięciu: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. I to wszystko. (Przyjmujemy tu, że zero nie jest liczbą naturalną – w polskiej szkole często się je do nich zalicza; wtedy w zbiorze T będzie także 0.)

Kolejny przykład: Y = {x ∈ ℤ | x ≠ 0}. Zdefiniowaliśmy zbiór Y, który zawiera elementy x brane z liczb całkowitych, a jedyny warunek, który x musi spełniać, jest taki, że nie może być zerem. Zbiór Y zawiera więc wszystkie liczby całkowite oprócz zera.

Kolejny przykład: G = {x ∈ ℝ | x · x = x}. Zbiór G zawiera elementy x brane z liczb rzeczywistych i dla wszystkich elementów x musi zachodzić, że gdy pomnożymy je przez same siebie, znowu dostaniemy liczbę x. Możemy na przykład spróbować liczby 5. Według definicji ma zachodzić równość: 5 · 5 = 5. To oczywiście nie jest prawda, więc liczba 5 nie będzie elementem zbioru G. Spróbujmy jedynki: 1 · 1 = 1. Dla niej to ewidentnie zachodzi, więc jedynka będzie elementem zbioru G. Drugim, a zarazem ostatnim elementem będzie liczba zero. Dla żadnej innej liczby to już nie zajdzie. Możemy więc napisać: G = {0, 1}.

I ostatni przykład. Napiszę coś trudniejszego, żebyś zobaczył, że własność charakterystyczna może być też skomplikowana:

$$X=\left\{x \in \mathbb{R} | (x^2=2x)\vee(sin(x)=\pi\wedge cos(x)=\pi)\right\}$$

W praktyce zbiór najczęściej definiuje się za pomocą własności charakterystycznej i można powiedzieć, że spora część pojęć w matematyce jest zdefiniowana za pomocą zbiorów. Weźmy taki przedział – możemy powiedzieć, że przedział (a, b) jest zbiorem I, dla którego zachodzi:

$$I=\left\{x\in\mathbb{R} | (x > a) \wedge (x < b)\right\}$$

Są to wszystkie elementy ze zbioru liczb rzeczywistych, które są większe od a i mniejsze od b, czyli dokładnie to, co wyraża przedział.