Přepočet stoupání na úhel

Určitě už jste někdy na silnici viděli dopravní značku A5b - nebezpečné stoupání (nebo A5a - nebezpečné klesání). Taková značka vás upozorňuje na to, že máte před sebou docela příkrý kopec. Úroveň stoupání ale značka udává v procentech, přitom úhel jsme obyčejně zvyklí měřit ve stupních. Co procentuální znázornění stoupání znamená?

Abychom si vysvětlili, co nám těch 12 % říká, podívejme se na následující obrázek:

Představme si, že naše auto je v bodě A, kde je zároveň umístěna značka 12% stoupání. Nyní pojedeme dále do kopce po červené silnici, dokud neujedeme vzdušnou čarou sto metrů. Náš cíl je znázorněn bodem C. Vzdušnou čáru představuje vzdálenost mezi body A a B. Reálně naše auto ujede trochu větší vzdálenost, protože jede do kopce a vzdálenost AC je tak o trochu větší než AB. Pokud ale dojedeme do bodu C, dosáhneme převýšení 12 metrů, což je znázorněno úsečkou BC. A to je to, co nám říká daná značka: 12% stoupání znamená, že pokud by toto stoupání trvalo sto metrů vzdušnou čarou, dosáhli bychom převýšení 12 metrů. Pokud by na místě bylo 14% stoupání, dosáhli bychom na sto metrech 14metrového převýšení.

Jak spočítat úhel ve stupních

Jakým způsobem nyní získáme velikost úhlu α, který se nachází u vrcholu A? Tj. jaký úhel svírá stoupající cesta s rovnou zemí? Využijeme goniometrické funkce, konkrétně funkci tangens. Víme, že tangens úhlu v pravoúhlém trojúhelníku je roven poměru protilehlé odvěsně ku přilehlé. Protilehlá odvěsna úhlu α je strana BC, přilehlá odvěsna je strana AB. Můžeme tedy napsat, že tangens úhlu alpha je roven:

$$\large\tan\alpha=\frac{12}{100}$$

My ale nechceme ve skutečnosti znát tangens úhlu, my chceme znát velikost úhlu α. K tomu budeme potřebovat cyklometrickou arcus tangens funkci, která umí vypočítat velikost úhlu, pokud známe poměr stran. Můžeme tak napsat, že

$$\large\alpha=\arctan{\frac{12}{100}}$$

Tohle musíme hodit do nějaké kalkulačky, můžeme k tomu využít třeba strýčka Googla, který nám vypočítá, že

$$\large\alpha=\arctan{\frac{12}{100}}=6{,}84^\circ$$

Cesta svírá se zemí úhel o velikosti přibližně $6,84^\circ$.