Kombinatorika

Ingin tahu berapa banyak kelompok berisi lima kartu yang berbeda dapat diambil dari satu set 32 kartu? Soal seperti inilah yang diselesaikan oleh kombinatorika. Ada dua aturan dasar kombinatorika, yaitu aturan penjumlahan dan aturan perkalian. Semua cara berhitung lainnya hanyalah pengembangan dari kedua prinsip dasar ini.

Aturan penjumlahan

Aturan penjumlahan sangat sederhana. Jika himpunan A, B tidak mempunyai anggota persekutuan, banyaknya semua cara memilih satu anggota dari gabungan A ∪ B sama dengan |A| + |B|, yaitu jumlah banyak anggota kedua himpunan.

Kita mulai dengan contoh yang mudah. Ada 6 bola merah dan 8 bola biru. Semua bola kita masukkan ke dalam satu kotak. Ada berapa kemungkinan jika kita mengambil satu bola? Pada awalnya ada himpunan bola merah, sebut saja himpunan A, dan himpunan bola biru, sebut saja B. Kedua himpunan ini saling lepas, artinya tidak ada bola yang menjadi anggota keduanya. Kita ingin mengambil satu bola, jadi seluruhnya ada |A| + |B| = 6 + 8 = 14 kemungkinan. Selesai.

Aturan perkalian

Sekali lagi ada dua himpunan, P dan L. Himpunan P berisi tiga perempuan dan himpunan L berisi empat laki-laki. Sekarang pertanyaannya: berapa banyak pasangan laki − laki – perempuan berbeda yang dapat dibentuk dari kedua himpunan ini? Caranya begini: setiap kali kita ambil satu perempuan, lalu kita pasangkan dengan seorang laki-laki. Banyak semua pasangan dihitung sebagai berikut. Kita ambil satu perempuan, Siti, lalu kita pasangkan dengan setiap laki-laki satu per satu. Diperoleh 4 pasangan berbeda karena Siti dapat dipasangkan dengan 4 laki-laki yang berbeda. Hal yang sama kita lakukan untuk dua perempuan lainnya, dan masing-masing juga membentuk 4 pasangan. Itu saja; seluruhnya ada 4 + 4 + 4 = 12 pasangan.

Apa yang sebenarnya kita lakukan? Kita mengalikan banyak anggota kedua himpunan. Ada 3 perempuan dan 4 laki-laki, jadi banyak semua pasangan adalah 3 · 4 = 12. Karena itulah aturan ini disebut aturan perkalian. Jika ada dua himpunan dan kita membentuk pasangan dari anggota keduanya, cukup kalikan banyak anggota himpunan pertama dengan banyak anggota himpunan kedua.

Kamu bisa memeriksa sendiri bahwa aturan ini memang benar. Berikut semua pasangan yang dapat dibentuk dari 3 perempuan dan 4 laki-laki. Setiap baris berisi kemungkinan untuk salah satu perempuan dan setiap kolom berisi kemungkinan untuk salah satu laki-laki. Ada tiga baris dan empat kolom, jadi seluruhnya ada baris · kolom kemungkinan.

$$\begin{array}{rcl}& & (P_1,L_1),(P_1,L_2),(P_1,L_3),(P_1,L_4),\\ & & (P_2,L_1),(P_2,L_2),(P_2,L_3),(P_2,L_4),\\ & & (P_3,L_1),(P_3,L_2),(P_3,L_3),(P_3,L_4)\end{array}$$

Contoh soal

1. Ada berapa banyak bilangan dua angka yang berbeda? Seperti apa bentuk bilangan dua angka? Di tempat pertama terdapat salah satu angka 1, …, 9, sedangkan di tempat kedua boleh juga muncul angka nol: 0, …, 9. Jadi, pada himpunan pertama ada 9 angka dan pada himpunan kedua ada 10 angka. Dengan aturan perkalian, diperoleh hasil akhir 9 · 10 = 90.

• Ada berapa banyak bilangan tiga angka yang berbeda jika tidak ada angka yang boleh muncul dua kali? Di tempat pertama sekali lagi boleh ada sembilan angka, karena bilangan tidak boleh diawali nol. Di tempat kedua boleh ada semua angka termasuk nol, kecuali angka yang sudah ada di tempat pertama. Jadi, dari sepuluh angka yang mungkin kita kurangi satu. (Misalnya, jika bilangan tiga angka kita diawali angka empat, jelas angka empat tidak boleh muncul lagi di tempat kedua karena akan muncul dua kali dalam bilangan itu.) Di tempat ketiga juga boleh ada semua angka, kecuali angka yang sudah ada di tempat pertama atau kedua, dengan alasan yang sama. Jika di tempat pertama ada angka 4 dan di tempat kedua angka 7, tempat ketiga dapat diisi satu angka dari {0, …, 9} ∖ {4, 7}. Dari sepuluh angka kita harus mengurangi dua. Sekarang tinggal mengalikan: 9 · 9 · 8 = 648. Jadi, seluruhnya ada 648 bilangan seperti itu.
• Sebuah dadu biasa kita lempar dua kali berturut-turut. Berapa banyak hasil berbeda yang dapat kita peroleh? Pada lemparan pertama dadu dapat menunjukkan 6 hasil yang berbeda. Pada lemparan kedua juga, jadi banyak semua kemungkinan adalah 6 · 6 = 36.
• Sebuah dadu kita lempar dua kali berturut-turut. Berapa banyak hasil berbeda yang dapat kita peroleh jika pada lemparan pertama muncul mata dadu genap? Pada lemparan pertama muncul mata dadu genap, yaitu salah satu dari 2, 4, 6, jadi ada 3 kemungkinan. Pada lemparan kedua boleh muncul mata dadu berapa pun, sehingga seluruhnya ada 3 · 6 = 18 kemungkinan.