Teorema binomial

Teorema binomial adalah perumuman rumus-rumus klasik seperti (a + b)² dengan bantuan cara-cara kombinatorika.

Motivasi

Kamu pasti mengenal rumus untuk menghitung (a + b)² atau (a + b)³:

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^2& =& a^2+2ab+b^2\\ (a+b{)}^3& =& a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\end{array}$$

Pertanyaan yang wajar adalah apakah rumus-rumus ini dapat diperumum untuk sembarang bilangan asli n, artinya apakah (a + b)ⁿ dapat dihitung?

Menemukan polanya

Tentu saja bisa, dan untuk itulah teorema binomial digunakan. Mari kita lihat bagaimana penjabaran ini berlanjut untuk n = 4 dan n = 5.

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^4& =& a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4\\ (a+b{)}^5& =& a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5\end{array}$$

Seharusnya sekarang kamu sudah melihat suatu pola. Jika ada bentuk (a + b)ⁿ, ruas kanan selalu diawali suku aⁿ. Suku kedua juga memuat variabel a, tetapi pangkatnya satu lebih kecil. Sebagai contoh: pada penjabaran (a + b)⁴, suku pertama di ruas kanan memuat a⁴ dan suku kedua memuat a³. Setiap suku berikutnya memuat variabel a dengan pangkat satu lebih kecil daripada suku sebelumnya. Sebaliknya, pangkat variabel b naik. Pada awalnya variabel b tidak ada, atau tepatnya ada, tetapi dengan pangkat nol: b⁰ = 1. Pada suku kedua b berpangkat satu, lalu dua, dan seterusnya.

Selain itu berlaku aturan sederhana: jumlah pangkat selalu sama dengan n. Jika kita ambil penjabaran terakhir, (a + b)⁵, misalnya suku ketiganya adalah 10a³ · b², dan jumlah pangkat variabel a dan b adalah 5.

Hal terakhir adalah koefisien (bilangan di depan variabel) setiap suku. Kamu pasti melihat bahwa koefisien-koefisien itu simetris: pada (a + b)⁴ koefisiennya 1, 4, 6, 4, 1, pada (a + b)⁵ koefisiennya 1, 5, 10, 10, 5, 1. Perlu diingat bahwa a⁴ = 1 · a⁴; karena itu saya menuliskan angka satu itu, meskipun dalam rumus tidak ditulis secara eksplisit. Hubungan lainnya akan kita lihat pada segitiga Pascal.

Segitiga Pascal

Segitiga Pascal adalah alat bantu yang praktis untuk menghitung penjabaran menurut teorema binomial. Segitiga Pascal tersusun dari bilangan-bilangan, dan setiap bilangan yang terletak di bawah dua bilangan lain sama dengan jumlah kedua bilangan itu. Kedengarannya rumit, tetapi dari segitiganya sendiri akan langsung jelas:

Lihat misalnya bilangan empat. Di atasnya ada bilangan 1 dan 3. Jumlah 1 + 3 adalah 4. Begitu pula untuk bilangan-bilangan lainnya.

Lalu, bagaimana kita memanfaatkan segitiga Pascal? Jika kamu memperhatikan bilangan di setiap baris, kamu akan melihat bahwa bilangan-bilangan itu sangat mirip dengan koefisien penjabaran binomial. Misalnya, pada (a + b)² koefisiennya 1, 2, 1, tepat seperti baris kedua. Untuk (a + b)⁴ koefisiennya 1, 4, 6, 4, 1, tepat seperti baris keempat. Jika kita perlu menghitung (a + b)ⁿ, cukup lihat baris ke-n segitiga Pascal.

Definisi teorema binomial

Secara formal, teorema binomial berbunyi sebagai berikut:

$$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^{k}a,b\in \mathbb{R};n\in \mathbb{N}$$

Penjumlahan dilakukan dari nol sampai dengan n. Jadi, banyak suku hasilnya adalah n + 1. Bentuk di dalam kurung itu adalah koefisien binomial, yang berasal dari kombinatorika dan menyatakan banyak kombinasi berbeda yang menghasilkan suatu suku penjabaran binomial. Sisanya hanya variabel dengan pangkat yang sesuai. Perhatikan bahwa jumlah pangkatnya memang sama dengan n: n − k + k = n.

Contoh soal

Contoh sederhana: hitunglah (a + 2b)⁴ dengan teorema binomial. Pertama-tama kita lihat baris keempat segitiga Pascal. Baris itu menunjukkan bahwa koefisiennya adalah 1, 4, 6, 4, 1. Sekarang tinggal melengkapi pangkatnya satu per satu. Suku pertama hanya a⁴:

$$(a+2b{)}^4=a^4+\dots$$

Pada suku kedua pangkatnya terbagi menjadi pasangan 3, 1, jadi diperoleh a³(2b)¹. Pangkat satu tidak mengubah bentuknya, jadi kita dapat menulis a³2b. Koefisien suku kedua adalah 4:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+\dots$$

Suku ketiga mempunyai pangkat 2, 2. Di sini perlu hati-hati, yang dipangkatkan adalah seluruh 2b, jadi seperti ini: (2b)², yang sama dengan (2b)² = 4b². Kita tambahkan ke penjabaran dengan koefisien 6:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+\dots$$

Suku keempat berbentuk a(2b)³. Setelah dipangkatkan, diperoleh a8b³. Kita tambahkan dengan koefisien 4:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+4a8b^3+\dots$$

Suku terakhir hanya (2b)⁴ = 16b⁴:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+4a8b^3+16b^4.$$

Sekarang tinggal sedikit merapikan. Pada suku 4a³2b, angka dua dapat kita pindahkan ke depan suku dan dikalikan: 2 · 4 = 8. Diperoleh 8a³b. Jika hal yang sama kita lakukan pada suku-suku lainnya, diperoleh hasil:

$$(a+2b{)}^4=a^4+8a^{3}b+24a^2{b}^2+32a{b}^3+16b^4.$$

Perhatikan bahwa sekarang koefisiennya tidak lagi sama dengan bilangan pada segitiga Pascal.