Permutasi k dari n unsur

Permutasi k unsur dari n unsur kita gunakan jika dari suatu himpunan objek kita memilih sejumlah objek tertentu dan urutan pemilihan objek-objek itu diperhatikan.

Penurunan rumus

Kita mulai dengan soal khas permutasi. Setiap tahun di sebuah desa diadakan lomba makan kerupuk. Ke babak final lolos tujuh peserta. Hitunglah banyak cara ketujuh peserta itu dapat menempati tiga tempat pertama.

Perlu disadari bahwa pada soal ini urutan diperhatikan. Misalnya, jika kita tahu bahwa tiga tempat pertama ditempati Budi, Andi, dan Agus, ketiga orang ini menghasilkan enam susunan juara yang berbeda:

• Budi, Andi, Agus;
• Budi, Agus, Andi;
• Andi, Budi, Agus;
• Andi, Agus, Budi;
• Agus, Budi, Andi;
• Agus, Andi, Budi.

Semua susunan ini berbeda, dan kita ingin menghitung berapa banyak susunan juara yang dapat dibentuk dari 7 peserta.

Untuk itu kita gunakan aturan perkalian. Kita memilih tripel berbentuk (x₁, x₂, x₃), dengan x₁ peserta yang menempati tempat pertama, dan seterusnya. Peserta mana saja yang dapat menempati x₁? Semuanya, jadi untuk x₁ ada 7 peserta. Peserta mana yang dapat menempati x₂? Semua, kecuali yang sudah menempati tempat pertama, jadi untuk x₂ ada 7 − 1 = 6 peserta. Tempat x₃ dapat diisi peserta yang tidak berada di tempat pertama atau kedua, jadi ada 7 − 2 = 5 kemungkinan. Dengan aturan perkalian, diperoleh banyak semua kemungkinan: 7 · 6 · 5 = 210.

Jika kita ingin mengetahui banyak semua kemungkinan untuk 4 tempat pertama, tempat x₄ dapat diisi 7 − 3 = 4 peserta, sehingga banyak semua kemungkinan adalah 7 · 6 · 5 · 4 = 840. Apa yang dapat kita simpulkan dari sini?

Jika ada himpunan dengan n anggota (dalam contoh ini 7 peserta) dan kita memilih 3 anggota dengan memperhatikan urutan, hasilnya sama dengan n · (n − 1) · (n − 2). Tempat pertama dapat ditempati siapa saja, tempat berikutnya oleh satu orang lebih sedikit, dan seterusnya. Dari sini kita peroleh rumus umum untuk memilih k anggota dari himpunan dengan n anggota: banyak kemungkinannya sama dengan n · (n − 1) · (n − 2) · … · (n − k + 1).

Rumus ini masih bisa kita ubah dengan bantuan faktorial. Perhatikan bentuk faktorial tujuh, 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1, dan cara kita menghitung banyak susunan juara, 7 · 6 · 5. Keduanya mirip. Kita hanya perlu membuang bagian akhirnya, yaitu membagi 7! dengan 4 · 3 · 2 · 1, sehingga yang tersisa hanya 7 · 6 · 5. Berapakah 4 · 3 · 2 · 1? Hasilnya 4!.

Jadi, jika ada himpunan dengan n anggota dan kita memilih k anggota dengan memperhatikan urutan, seluruhnya ada

$$P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!}$$

kemungkinan. Bilangan ini disebut banyak permutasi k unsur dari n unsur. Jika bilangan-bilangan dari lomba makan kerupuk kita substitusikan ke rumus ini:

$$P(7,3)=\frac{7!}{(7-3)!}=\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=7\cdot 6\cdot 5=210.$$

Kalkulator

Kalkulator berikut menghitung banyak permutasi k unsur dari n unsur untuk n dan k yang diberikan.

Contoh soal

1. Kita tetap pada lomba makan kerupuk. Bagaimana banyak susunan juara berubah jika kita tahu bahwa yang ikut lomba adalah Rizky, jagoan yang selalu menang? Dengan kata lain, berapa banyak susunan juara yang berbeda jika ada 7 peserta dan Rizky pasti menang?

Ini juga permutasi sederhana. Tempat pertama sudah pasti, dan dari 6 peserta sisanya kita tinggal menentukan siapa yang menempati tempat kedua dan ketiga. Jadi, kita memilih 2 unsur dari himpunan dengan 6 unsur, dan urutannya diperhatikan:

$$P(6,2)=\frac{6!}{(6-2)!}=30$$

2. Dulu, ketika Rizky belum sejago sekarang, ia selalu masuk tiga besar. Berapa banyak susunan juara yang berbeda jika ada 7 peserta dan Rizky pasti mendapat salah satu medali?

   Soal ini berbeda dari soal sebelumnya karena kita tidak tahu di tempat ke berapa Rizky berada; bisa saja ia hanya juara kedua atau bahkan ketiga, dan sampai sekarang ia masih malu karenanya. Karena itu, kita harus menghitung tiga permutasi: ketika Rizky menang, ketika ia meraih medali perak, dan ketika ia meraih medali perunggu. Namun, setiap kali hanya tersisa dua tempat untuk peserta lain. Misalnya, jika Rizky juara kedua, peserta lain dapat menempati tempat pertama atau ketiga. Jadi, kita kembali menghitung permutasi 2 unsur dari 6 unsur, hanya saja tiga kali, untuk tiga kemungkinan tempat Rizky. Banyak semua susunan juara adalah

   $$3\cdot P(6,2)=3\cdot \frac{6!}{(6-2)!}=3\cdot 30=90$$

   Perhatikan bahwa faktor 3 di depan permutasi dapat ditulis sebagai P(3, 1), karena sebenarnya kita memilih satu unsur (satu tempat tertentu) dari himpunan dengan tiga unsur (tiga tempat penerima medali).

3. Di sebuah sekolah ada 20 guru. Sebentar lagi ujian akhir, dan sekolah perlu membentuk panitia penguji yang terdiri atas satu ketua, satu penguji yang ramah, dan satu penguji yang galak. Ada berapa kemungkinan seluruhnya?

   Pertama-tama kita harus menjawab apakah urutan diperhatikan. Ya, urutan diperhatikan, karena tiga guru yang sama dapat dibagi ke dalam tiga peran dengan enam cara yang berbeda. Sekarang soalnya mudah: kita memilih permutasi 3 unsur dari 20 unsur:

   $$P(20,3)=\frac{20!}{17!}=6840.$$

4. Berapa banyak bilangan tiga angka yang dapat disusun dari angka-angka {0, 1, 2, 3, 4, 5} jika tidak ada angka yang boleh berulang?

   Apakah urutan diperhatikan? Ya, karena 123 dan 321 adalah dua bilangan yang berbeda. Berapa banyak tripel berbeda yang ada? Ini permutasi 3 unsur dari 6 unsur:

   $$P(6,3)=\frac{6!}{3!}=120.$$

   Namun, kita masih harus mengurangkan permutasi yang diawali nol, karena 012 bukan bilangan tiga angka. Jadi, pertanyaannya sekarang: berapa banyak tripel berbeda yang diawali nol? Dalam hal ini angka hanya berganti di dua tempat sisanya (tripel berbentuk (0, x₂, x₃)), sehingga kita mencari banyak pasangan berbeda yang dapat dibentuk dari angka-angka {1, 2, 3, 4, 5}. Ini juga mudah: P(5, 2) = 5!/3! = 20. Jadi, ada 20 tripel yang diawali nol.

   Banyak semua bilangan tiga angka yang tersusun dari angka-angka {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah 120 − 20 = 100.

5. Berapa banyak bilangan tiga angka yang dapat disusun dari angka-angka {1, 2, 3, 4, 5} jika tidak ada angka yang boleh berulang dan bilangan yang terbentuk harus ganjil?

   Urutan diperhatikan, karena 123 dan 321 adalah dua bilangan yang berbeda. Kita menyusun bilangan tiga angka yang ganjil. Artinya, di dua tempat pertama boleh ada angka apa saja, tetapi di tempat terakhir harus ada salah satu angka {1, 3, 5}. Pertama kita hitung banyak semua tripel yang dapat disusun dari lima angka: P(5, 3) = 5! / 2! = 60.

   Setiap angka muncul di tempat terakhir sama seringnya. Karena ada 5 angka, setiap angka muncul di tempat terakhir sebanyak 60 / 5 = 12 kali. Ada tiga angka {1, 3, 5} yang boleh muncul di tempat terakhir, jadi ada 12 bilangan berbeda yang berakhiran 1, 12 bilangan yang berakhiran 3, dan 12 bilangan yang berakhiran 5. Dengan aturan penjumlahan, seluruhnya ada 12 + 12 + 12 = 36 kemungkinan.

6. Tentukan x jika diketahui P(x, 2) = 72. Dengan kata lain, dari himpunan dengan x anggota kita memilih pasangan berurutan dan kita tahu bahwa seluruhnya ada 72 pasangan berbeda. Berapa banyak anggota himpunan tempat kita memilih pasangan itu? Kita uraikan:

   $$P(x,2)=\frac{x!}{(x-2)!}=72$$

   Selanjutnya kita sederhanakan:

   $$\begin{array}{rcl}\frac{x!}{(x-2)!}& =& 72\\ \frac{x\cdot (x-1)\cdot (x-2)!}{(x-2)!}& =& 72\\ x\cdot (x-1)& =& 72\\ x^2-x& =& 72\\ x^2-x-72& =& 0\end{array}$$

   Ini persamaan kuadrat biasa, jadi kita selesaikan dengan diskriminan, atau persamaannya kita tulis dalam bentuk

   $$(x+8)\cdot (x-9)=0$$

   yang langsung memperlihatkan penyelesaiannya: x₁ = −8 dan x₂ = 9. Penyelesaian negatif tidak kita pakai karena banyak anggota himpunan tidak mungkin negatif. Jadi, penyelesaian persamaan semula adalah x = 9; himpunannya mempunyai sembilan anggota.