Peluang

Peluang suatu kejadian acak menyatakan seberapa besar kemungkinan kejadian itu terjadi. Contoh khasnya adalah pelemparan sebuah dadu biasa. Kita dapat bertanya, “berapa peluang muncul mata dadu lima?” Peluang dinyatakan sebagai bilangan pada interval [0, 1] atau dalam persen, yaitu dari 0% sampai 100%.

Definisi terkait

Setiap kegiatan berulang yang hasilnya bergantung pada kebetulan kita sebut percobaan acak. Contohnya pelemparan dadu atau pengundian nomor dalam undian. Selanjutnya kita memerlukan himpunan semua hasil yang mungkin dari percobaan acak, yaitu semua kemungkinan yang dapat terjadi pada percobaan itu. Himpunan ini disebut ruang sampel. Misalnya, pada dadu dapat muncul mata dadu satu sampai enam, jadi ruang sampel untuk dadu, yang kita lambangkan dengan ω (omega; di buku sekolah sering ditulis S), seperti ini: ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Pada undian, ruang sampelnya adalah semua kombinasi nomor yang dapat keluar.

Setiap himpunan bagian A ⊆ ω kita sebut kejadian (acak). Misalnya, kejadian “muncul mata dadu genap” kita tulis sebagai A = {2, 4, 6}. Kejadian “muncul mata dadu lebih dari lima” kita tulis sebagai A = {6}, dan seterusnya. Jika dadu dilempar (= percobaan dilakukan) dan muncul mata dadu x, maka jika x ∈ A, kita katakan bahwa kejadian itu terjadi; jika tidak, kejadian itu tidak terjadi. Jika kita tetap pada kejadian “muncul mata dadu genap” dan muncul x = 2, maka x ∈ A, yaitu 2 ∈ {2, 4, 6}, dan kejadian itu terjadi.

Ada dua jenis kejadian khusus: kejadian pasti dan kejadian mustahil. Kejadian pasti adalah kejadian yang terjadi pada setiap percobaan, artinya A = ω. Pada dadu, contohnya kejadian “muncul mata dadu kurang dari 7”. Itu pasti terjadi. Kebalikannya adalah kejadian mustahil, yang berbentuk A = ∅, misalnya “pada dadu muncul pot bunga”. Memang, ketika dadu dilempar, pot bunga bisa saja jatuh dari meja, tetapi pada dadu jelas tidak akan muncul pot bunga, karena di sana hanya ada mata dadu 1 sampai 6.

Peluang suatu kejadian

Peluang suatu kejadian menyatakan seberapa besar kita dapat berharap kejadian itu terjadi. Kita semua mungkin menduga bahwa mata dadu genap muncul lebih sering daripada mata dadu lima. Peluang mengubah dugaan ini menjadi bilangan yang pasti. Pertama-tama kita sebutkan beberapa asumsi yang kita perlukan.

Misalkan untuk suatu percobaan acak berlaku:

• Banyak semua hasil yang mungkin berhingga (artinya, ω adalah himpunan berhingga).
• Dua hasil tidak dapat muncul bersamaan (artinya, pada satu dadu tidak mungkin muncul mata dadu 3 sekaligus 6).
• Setiap hasil berpeluang sama (artinya, peluang muncul mata dadu 4 sama besar dengan peluang muncul mata dadu 6 atau 1).

Dua syarat pertama cukup wajar. Syarat terakhir agak membatasi, tetapi untuk sementara sudah cukup. Dengan asumsi ini, peluang kejadian A, yang kita tulis P(A), sama dengan

$$P(A)=\frac{|A|}{|\omega |}.$$

Dengan kata lain: banyak hasil yang mendukung kejadian dibagi banyak semua hasil. (Garis tegak pada rumus di atas menyatakan banyak anggota himpunan.) Jadi, peluang muncul mata dadu genap adalah:

$$P(Genap)=\frac{|\{2,4,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0,5.$$

Peluang sering dinyatakan dalam persen. Cukup kalikan peluang yang sudah dihitung dengan seratus dan tambahkan tanda persen: 0,5 · 100% = 50%. Peluang lima puluh persen berarti peluang muncul mata dadu genap sama besar dengan peluang tidak muncul mata dadu genap. Ini masuk akal, karena pada dadu ada tiga mata genap dan tiga mata ganjil.

Kejadian pasti mempunyai peluang 1, sedangkan kejadian mustahil 0. Mengapa? Kita sudah mengatakan bahwa untuk kejadian pasti J berlaku J = ω dan untuk kejadian mustahil N berlaku N = ∅. Jika kedua kejadian ini kita substitusikan ke rumus, diperoleh:

$$P(J)=\frac{|\omega |}{|\omega |}=1;P(N)=\frac{|\mathrm{\varnothing }|}{|\omega |}=\frac{0}{|\omega |}=0.$$

Contoh soal

1. Berapa peluang muncul mata dadu lima? Mudah saja: himpunan semua hasil yang mendukung hanya A = {5}, sedangkan himpunan semua hasil tetap ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Kita substitusikan ke rumus:

   $$P(A)=\frac{|\{5\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{1}{6}=\mathrm{16,666}\dots \mathrm{\%}$$

2. Berapa peluang muncul mata dadu yang habis dibagi tiga? Kita harus mencari mata dadu mana yang habis dibagi tiga. Hanya 3 dan 6, jadi himpunan hasil yang mendukung adalah B = {3, 6}. Selanjutnya seperti biasa:

   $$P(B)=\frac{|\{3,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}=\mathrm{33,333}\dots \mathrm{\%}$$

3. Sekarang kita coba melempar dua dadu sekaligus. Berapa peluang muncul mata dadu enam pada kedua dadu? Pertama-tama kita harus menentukan ω, yaitu himpunan semua hasil. Kita harus menghitung semua kemungkinan yang dapat terjadi. Jika pada dadu pertama muncul mata dadu 1, pada dadu kedua dapat muncul 1 sampai 6. Dengan begitu kita menemukan enam kemungkinan. Jika pada dadu pertama muncul mata dadu 2, pada dadu kedua juga dapat muncul 1 sampai 6, sehingga ada enam kemungkinan lagi. Begitu seterusnya untuk semua mata dadu yang dapat muncul pada dadu pertama. Semua kemungkinannya seperti ini:

   $$\begin{array}{rcl}& \omega =& (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\\ & & \dots \\ & & (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\end{array}$$

   Ada enam baris dan setiap baris berisi enam kemungkinan. Jadi, seluruhnya ada 6 · 6 = 36 kemungkinan hasil. Berapa di antaranya yang juga termasuk himpunan hasil yang mendukung? Hanya satu, yaitu (6, 6), karena kita ingin muncul dua mata dadu enam. Diperoleh peluang:

   $$P(C)=\frac{|\{(6,6)\}|}{|\omega |}=\frac{1}{36}=\mathrm{2,777}\dots \mathrm{\%}$$

4. Berapa peluang muncul mata dadu yang sama pada kedua dadu ketika dua dadu dilempar? Banyak semua hasil yang mungkin tetap 36, lihat contoh sebelumnya. Lalu, berapa banyak hasil yang mendukung? Hanya dalam enam kasus kedua dadu menunjukkan mata yang sama: D = {(1, 1), (2, 2), …, (6, 6)}. Kita substitusikan ke rumus:

   $$P(D)=\frac{|D|}{|\omega |}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}=\mathrm{16,666}\dots \mathrm{\%}$$

5. Dua dadu, satu putih dan satu hitam, dilempar. Berapa peluang muncul mata dadu 3 pada dadu putih dan 5 pada dadu hitam? Banyak anggota ω tetap 36. Seperti apa himpunan hasil yang mendukung E? Himpunan itu hanya berisi kemungkinan (3, 5), jadi peluangnya adalah

   $$P(E)=\frac{|E|}{|\omega |}=\frac{1}{36}=\mathrm{2,777}\dots \mathrm{\%}$$

6. Dua dadu, satu putih dan satu hitam, dilempar. Berapa peluang muncul mata dadu 3 dan 5? Contoh ini mirip dengan contoh sebelumnya, hanya saja kita tidak mensyaratkan bahwa mata dadu 3 harus muncul pada dadu putih dan mata dadu 5 pada dadu hitam. Cukup salah satu dadu menunjukkan 3 dan dadu yang lain menunjukkan 5. Karena itu, kemungkinannya lebih banyak: selain (3, 5) ada juga (5, 3). Jadi, peluang kejadian F ini adalah:

   $$P(F)=\frac{|F|}{|\omega |}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}=\mathrm{5,555}\dots \mathrm{\%}$$

7. Dua dadu dilempar. Berapa peluang muncul paling sedikit satu mata dadu enam? Kita hitung bertahap. Jika mata dadu enam muncul pada dadu pertama, pada dadu kedua dapat muncul mata dadu 1 sampai 5. Itu lima kemungkinan. Jika mata dadu enam muncul pada dadu kedua, pada dadu pertama dapat muncul mata dadu 1 sampai 5. Itu lima kemungkinan lagi. Terakhir, mata dadu enam dapat muncul pada kedua dadu, yaitu satu kemungkinan lagi. Jadi, seluruhnya ada 5 + 5 + 1 = 11 kemungkinan. Himpunan hasil yang mendukung G seperti ini: G = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6)}. Diperoleh peluang:

   $$P(G)=\frac{|G|}{|\omega |}=\frac{11}{36}=\mathrm{30,555}\dots \mathrm{\%}$$

8. Di sebuah kelas ada 30 siswa. Berapa peluang Andi dipanggil ke depan pada pelajaran sejarah jika Bu Guru selalu menguji dua siswa setiap jam pelajaran dan sejauh ini belum ada yang dipanggil? Untuk menghitung peluangnya, kita perlu tahu ada berapa pasangan siswa yang berbeda dan ada berapa pasangan siswa yang salah satunya adalah Andi. Karena urutan pemanggilan siswa oleh Bu Guru tidak diperhatikan, kita menggunakan kombinasi.

   Sekarang soalnya mudah. Ada 30 siswa, dan kita bertanya berapa banyak pasangan berbeda yang dapat dibentuk dari mereka. Kita sampai pada koefisien binomial

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{2})=435$$

   Dalam berapa pasangan ada Andi? Jika salah satu dari dua siswa itu adalah Andi, tersisa 29 siswa yang dapat menjadi pasangannya (Andi tidak dapat berpasangan dengan dirinya sendiri, karena itu 30 − 1 = 29). Sekarang kita sudah tahu banyak semua kemungkinan dan banyak kemungkinan yang mendukung, jadi kita substitusikan ke rumus:

   $$P(H)=\frac{29}{435}=\mathrm{0,066}6\dots =\mathrm{6,666}\dots \mathrm{\%}$$

   Catatan: banyak semua pasangan dapat dihitung juga tanpa kombinasi. Bagaimana kita dapat membentuk semua pasangan dari kelas berisi 30 siswa? Setiap kali kita ambil satu siswa, lalu kita pasangkan dengan semua siswa lainnya satu per satu. Misalnya, kita ambil Budi dan kita pasangkan dengan semua siswa lainnya, sehingga terbentuk 29 pasangan. Hal ini kita lakukan untuk setiap siswa, yaitu untuk ke-30 siswa. Seluruhnya diperoleh 30 · 29 = 870 pasangan. Namun, setiap pasangan terhitung dua kali: sekali sebagai (Budi, Siti) dan sekali lagi sebagai (Siti, Budi) (tergantung apakah Budi yang dipasangkan dengan seluruh kelas atau Budi yang sedang dipasangkan dengan Siti). Karena itu, hasil ini masih kita bagi dua, dan diperoleh hasil akhir: 870 / 2 = 435.

9. Berapa peluang bahwa dari rak sepatu berisi dua belas pasang sepatu kita mengambil tiga sepatu yang semuanya sepatu kiri? Ini contoh yang sangat berguna dalam kehidupan sehari-hari; kamu pasti pernah perlu mengetahuinya. Kita mulai dengan menghitung berapa banyak kelompok tiga sepatu yang dapat diambil dari rak. Untuk itu kita memerlukan kombinasi, karena urutan pengambilan sepatu tidak diperhatikan. Ada 24 sepatu dan kita ingin mengambil 3. Diperoleh koefisien binomial:

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{24}{3})=2024$$

   Jadi, ada 2.024 kombinasi tiga sepatu yang berbeda yang dapat diambil dari rak. Sekarang kita harus menghitung kombinasi mana yang mendukung, yaitu kombinasi tiga sepatu yang semuanya sepatu kiri. Di rak ada 12 sepatu kiri. Jadi, kita tinggal menghitung berapa banyak kombinasi yang dapat dibentuk dari 12 sepatu ini. Sekali lagi diperoleh koefisien binomial:

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{3})=220$$

   Jadi, ada 220 kombinasi yang hanya berisi sepatu kiri. Hanya itu yang perlu kita ketahui; sekarang tinggal kita substitusikan ke rumus:

   $$P(I)=\frac{220}{2024}=\mathrm{0,108}695\dots =\mathrm{10,869}5\dots \mathrm{\%}$$

   Jadi, peluang kita mengambil tiga sepatu yang semuanya sepatu kiri kira-kira sepuluh persen.