Permutasi n unsur

Permutasi n unsur adalah kasus khusus permutasi k dari n unsur: kita mempunyai himpunan dengan n anggota dan ingin mengetahui banyak semua susunan n unsur yang berbeda.

Rumus

Kita ulangi dulu permutasi k dari n unsur. Misalkan diberikan himpunan angka {1, 2, 3, 4, 5}. Berapa banyak bilangan tiga angka yang dapat disusun darinya jika tidak ada angka yang boleh berulang? Ini contoh khas permutasi k dari n unsur yang dapat diselesaikan dengan rumus yang sudah kita kenal:

$$P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{5!}{(5-3)!}=60.$$

Berapa banyak bilangan lima angka yang dapat kita susun?

$$P(n,k)=\frac{5!}{(5-5)!}=\frac{5!}{0!}=5!=120.$$

Perhatikan bahwa jika ada himpunan dengan lima anggota dan kita mencari banyak semua susunan lima unsur yang berbeda, hasilnya sama dengan 5!. Hal ini dapat diperumum: jika ada himpunan dengan n anggota, seluruhnya ada n! susunan n unsur yang berbeda. Dengan ini kita sampai pada pengertian permutasi n unsur.

Apa itu permutasi n unsur

Jika ada himpunan M dengan n anggota, permutasi n unsur adalah sembarang susunan berurutan n unsur dari anggota-anggota himpunan M, dengan syarat tidak ada unsur yang berulang. Contoh: jika M = {a, b, c, d}, permutasinya antara lain (a, b, d, c) atau (d, b, a, c). Banyak semua permutasi yang berbeda adalah

$$P(n)=P(n,n)=n!$$

Contoh soal

1. Kamu mempunyai enam buku dan ingin menyusunnya di rak dalam suatu urutan. Ada berapa urutan berbeda seluruhnya? Ada enam buku dan setiap kali semua buku disusun, jadi hasilnya P(6) = 6! = 720.

2. Selain 6 buku berbahasa Indonesia dari contoh sebelumnya, kamu sekarang juga mempunyai 4 buku berbahasa Latin. Ada berapa cara berbeda untuk menyusun 10 buku ini di rak jika semua buku berbahasa Indonesia harus berdampingan dan semua buku berbahasa Latin juga harus berdampingan?

   Bagaimana buku-buku itu dapat disusun? Kita dapat lebih dulu menaruh enam buku berbahasa Indonesia, lalu empat buku berbahasa Latin, atau sebaliknya: lebih dulu empat buku berbahasa Latin, lalu enam buku berbahasa Indonesia. Ada 6! cara menyusun buku berbahasa Indonesia dan 4! cara menyusun buku berbahasa Latin. Dengan aturan perkalian, kedua hasil ini kita kalikan: 6! · 4! = 17.280. Karena ada dua kemungkinan letak kelompok buku (bahasa Indonesia dulu lalu bahasa Latin, atau sebaliknya), bilangan ini masih kita kalikan dua. Hasil akhirnya adalah 17.280 · 2 = 34.560.