Dasar-dasar statistika

Statistika adalah ilmu yang mempelajari data nyata dan berusaha menggambarkannya dengan bantuan teori peluang.

Bagian khusus statistika

Ini artikel lama yang sudah tidak mutakhir. Statistika sekarang mempunyai bagian sendiri dengan artikel pengantar Pengertian dasar statistika.

Pengertian dasar

Dalam statistika dipakai beberapa pengertian dasar yang akan kita bahas di sini.

Pertama-tama ada populasi statistik, yaitu himpunan berhingga berisi data yang ingin kita teliti. Datanya bisa bersifat umum, pada dasarnya bisa apa saja. Jika kamu ingin meneliti rata-rata gaji di Indonesia, populasinya adalah himpunan semua orang di Indonesia. Banyak anggota populasi disebut ukuran populasi. Jadi, ukuran populasi yang kita tetapkan tadi sama dengan jumlah penduduk Indonesia.

Selanjutnya ada pengertian unit pengamatan, yaitu anggota tertentu dari populasi. Dalam contoh kita, unit pengamatan adalah satu orang tertentu.

Terakhir ada variabel statistik, yaitu hal yang ingin kita ukur. Dalam contoh kita, variabel statistiknya adalah gaji. Variabel statistik dapat bersifat kualitatif atau kuantitatif. Variabel kuantitatif (kuantitas = jumlah, banyaknya) adalah variabel yang dapat dinyatakan dengan bilangan (misalnya gaji tadi, tinggi badan, banyak anak, …), sedangkan variabel kualitatif dinyatakan dengan kata-kata (warna, ya/tidak, pekerjaan, …).

Frekuensi

Frekuensi dapat berupa frekuensi relatif atau frekuensi mutlak. Frekuensi menyatakan berapa kali suatu nilai variabel muncul dalam populasi, baik secara mutlak maupun secara relatif terhadap banyak semua anggota populasi.

Yang penting, ketika menghitung frekuensi kita harus menerapkan variabel statistik. Jika kita ingin menghitung frekuensi mutlak suatu unit pengamatan, kita pasti mendapat nol atau satu, karena populasi adalah himpunan, dan himpunan tidak mengizinkan adanya beberapa anggota yang sama.

Jadi, frekuensi mutlak nilai variabel z menyatakan berapa kali nilai z muncul dalam populasi S. Contoh: ada sebuah kelas berisi sepuluh siswa. Di rapor, setiap siswa mendapat nilai matematika dari 20 sampai 100 (kelipatan 20). Nilai-nilai itu dicatat dalam tabel berikut:

$$\begin{array}{cccccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ 80& 20& 60& 80& 100& 100& 80& 40& 100& 60\end{array}$$

Catatan: populasi dalam contoh ini adalah kesepuluh siswa itu, kira-kira seperti

$$S=\{\text{Budi},\text{Siti},\text{Andi},\dots \}$$

Agar sederhana, baris pertama tabel berisi nomor identitas siswa. Jadi, baris pertama berisi unit pengamatan, yaitu anggota populasi. Baris kedua berisi nilai variabel statistik, yaitu “nilai akhir matematika” setiap siswa.

Jadi, frekuensi mutlak nilai (nilai di rapor) z = 60 sama dengan dua, karena hanya dua siswa yang mendapat nilai 60 di rapor (yaitu “siswa” 3 dan 10). Frekuensi mutlak nilai z = 100 adalah tiga (“siswa” 5, 6, dan 9).

Frekuensi relatif menyatakan berapa persen nilai variabel dalam populasi yang sama dengan z. Frekuensi relatif nilai z dihitung sebagai berikut:

$$r=\frac{z_a}{|S|},$$

dengan z_a frekuensi mutlak nilai z dan |S| ukuran populasi, yaitu banyak anggotanya. Jadi, frekuensi relatif nilai 60 adalah:

$$r_{60}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}.$$

Ukuran populasi kita sepuluh, karena di kelas ada sepuluh siswa. Dalam persen, hasilnya kita kalikan seratus, sehingga diperoleh 20%. Frekuensi relatif nilai 100 adalah

$$r_{100}=\frac{3}{10}.$$

Rata-rata hitung

Rata-rata hitung, atau sering disebut rata-rata saja, adalah rata-rata semua nilai dalam populasi. Yang dimaksud dengan nilai di sini adalah nilai setelah variabel statistik diterapkan. Rata-rata dihitung dengan menjumlahkan semua nilai, lalu membaginya dengan banyak nilai dalam populasi. Kira-kira seperti ini:

$$p_a=\frac{x_1+x_2+x_3+\dots +x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

Saya menambahkan juga bentuk dengan notasi sigma, barangkali lebih mudah dibaca. Namun, bentuk pecahan sebelumnya sudah cukup. Nilai-nilai x menyatakan semua nilai dalam populasi kita.

Contoh: kita ambil data dari tabel di atas dan menghitung rata-rata nilai per siswa.

$$p_a=\frac{80+20+60+80+100+100+80+40+100+60}{10}=\frac{720}{10}=72$$

Rata-rata nilai di kelas kita adalah 72. Seperti terlihat, rata-rata hitung bisa menghasilkan nilai yang sebenarnya tidak mungkin muncul: dalam contoh ini nilai rapor hanya kelipatan 20, jadi tidak ada siswa yang bisa mendapat nilai 72.

Rata-rata hitung juga kurang tepat dipakai jika sebagian data mempunyai nilai yang jauh berbeda dari data lainnya. Jika ada populasi dengan nilai 1, 3, 2, 5, 4, 2, 75, rata-rata hitungnya adalah

$$p_a=\frac{1+3+2+5+4+2+75}{7}\approx 13,14.$$

Terlihat bahwa hasilnya jauh dari semua nilai dalam populasi. Hasil itu beberapa kali lebih besar daripada enam bilangan pertama dan beberapa kali lebih kecil daripada nilai terakhir. Masalah ini dapat diatasi, misalnya, dengan median, lihat di bawah. Setidaknya sekarang kamu tahu mengapa dua pertiga orang tidak mencapai gaji rata-rata: ada sekelompok kecil orang dengan gaji yang jauh di atas biasanya, yang menaikkan rata-rata hitung.

Rata-rata geometri

Rata-rata geometri dihitung mirip dengan rata-rata hitung, hanya saja penjumlahan diganti perkalian dan pembagian diganti akar. Jadi, rata-rata geometri dihitung sebagai berikut:

$$p_g=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot \dots \cdot x_n}=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

Rata-rata geometri dapat dipakai sebagai ukuran pertumbuhan. Sebagai contoh, misalkan harga suatu barang naik 10% dalam setahun, tahun berikutnya naik 15%, dan tahun berikutnya lagi naik 5%. Setelah tiga tahun itu, harga semula c menjadi

$$1,1\cdot 1,15\cdot 1,05c=\mathrm{1,328}25c.$$

Rata-rata geometri koefisien-koefisien ini adalah:

$$p_g=\sqrt[3]{1,1\cdot 1,15\cdot 1,05}\approx \mathrm{1,099}2419$$

Apa artinya? Seandainya setiap tahun harga dikalikan tepat dengan 1,0992419 (artinya naik sekitar 9,92%), harga akhirnya akan sama:

$$\mathrm{1,099}{2419}^3\approx \mathrm{1,328}25$$

Modus dan median

Modus suatu variabel adalah nilai yang frekuensinya paling tinggi, dilambangkan dengan Mo(x). Jika kita kembali ke contoh nilai rapor, modusnya adalah nilai 100 dan 80, karena keduanya paling sering muncul: masing-masing mempunyai frekuensi mutlak 3.

Median adalah nilai tengah, dilambangkan dengan Me(x). Jika nilai-nilai dapat kita susun secara tidak turun menjadi barisan

$$x_1\le x_2\le x_3\le \dots \le x_n,$$

median adalah nilai yang berada di tengah barisan itu. Nilai tengahnya berbeda, bergantung pada apakah banyak suku barisan ganjil atau genap. Jika ganjil, median adalah suku pada posisi

$$\text{Me}(x)=x_{\frac{n+1}{2}}$$

Jika banyak suku barisan genap, tidak ada suku yang tepat di tengah (contoh: barisan 1, 2, 3, 4 memang tidak mempunyai suku tengah). Karena itu, kita ambil rata-rata dua nilai tengahnya (rata-rata nilai 2 dan 3). Jadi, rumus untuk n genap adalah:

$$\text{Me}(x)=\frac{x_{n/2}+x_{(n+2)/2}}{2}$$

Kita kembali ke contoh yang memperlihatkan rata-rata hitung yang dipakai secara kurang tepat. Kita mempunyai himpunan nilai s=1, 3, 2, 5, 4, 2, 75. Modusnya dua, karena hanya bilangan itu yang muncul berulang. Untuk menghitung median, bilangan-bilangan itu kita urutkan menjadi barisan:

$$a_i=1,2,2,3,4,5,75.$$

Barisan ini mempunyai tujuh suku, jadi suku tengahnya adalah a₄, yang sama dengan tiga.