Działania na relacjach

Ponieważ relacje są tak naprawdę zbiorami, możemy wykonywać na nich klasyczne działania na zbiorach.

Działania na zbiorach

W poprzednim artykule zdefiniowaliśmy relację jako zbiór. Na zbiorach możemy wykonywać działania takie jak suma, część wspólna czy różnica. Zobaczmy, jakie to ma znaczenie w przypadku relacji.

Najpierw musimy wprowadzić warunek, bo nie możemy wykonywać tych działań na dowolnych relacjach. Jeśli mamy relacje „mniejszy niż” i „być liczbą parzystą”, to te działania nie będą miały sensu, bo pierwsza relacja jest dwuargumentowa, a druga jednoargumentowa. Żebyśmy więc po wykonaniu działania na zbiorach znowu otrzymali relację, wszystkie występujące relacje muszą mieć tę samą arność, tzn. wszystkie muszą być n-argumentowe dla jakiegoś n.

Suma

Weźmy relacje „mniejszy niż” i „równość”. Co się stanie, jeśli zsumujemy te relacje? W relacji mniejszy niż mamy wszystkie pary (a, b), dla których zachodzi a < b. W relacji równości mamy wszystkie pary (a, b), dla których zachodzi a = b. W relacji < ∪ = będą więc wszystkie pary (a, b), dla których zachodzi a < b lub a = b. Liczba a jest albo mniejsza od liczby b, albo jest jej równa. Taką relację znamy i nazywamy ją „mniejszy lub równy”, oznaczamy ją ≤.

Jeśli mamy relacje R₁ i R₂, to ich suma jest relacją R = R₁ ∪ R₂, dla której zachodzi: element r jest w relacji R, jeśli jest w relacji R₁ lub jest w relacji R₂. Innymi słowy, w wynikowej relacji będzie wtedy, gdy był w co najmniej jednej z sumowanych relacji.

Część wspólna

Przy sumie dostaliśmy nową relację, której elementy były elementami co najmniej jednej z sumowanych relacji. Przy części wspólnej jest podobnie, tylko elementy muszą należeć do obu relacji.

Jeśli weźmiemy znowu relacje mniejszy niż i równość (na liczbach rzeczywistych) i wyznaczymy ich część wspólną — co dostaniemy? Powinniśmy dostać elementy, które są w relacji mniejszy niż i jednocześnie są sobie równe. Taki przypadek jednak nie może nastąpić, bo jeśli a < b, to nigdy nie zachodzi a = b. Dostalibyśmy relację pustą.

Weźmy te dwie relacje: „podzielność bez reszty” i relację dwuargumentową zawierającą pary elementów (a, b), gdzie a jest liczbą nieparzystą, a b liczbą parzystą. Pracujmy na liczbach naturalnych. W pierwszej relacji byłyby pary liczb takie jak (5, 15), (6, 30), (3, 123) — druga liczba zawsze musi być podzielna przez pierwszą. W drugiej relacji będą takie pary liczb, w których pierwsza liczba jest nieparzysta, a druga parzysta: (1, 4), (5, 14), (3, 24) itp. Część wspólna tych relacji to nowa relacja R, która będzie zawierać takie pary (a, b), dla których zachodzi, że b jest podzielne przez a, a jednocześnie a jest liczbą nieparzystą, a b parzystą. Na przykład: (5, 30) albo (3, 24).

Różnica

Jeśli mamy dwie relacje R₁ i R₂, to ich różnica R₁ − R₂ jest nową relacją, do której należą elementy, które są w R₁, ale nie są w R₂. Możemy znowu wrócić do relacji mniejszy lub równy i równość. Jeśli relacją R₁ będzie mniejszy lub równy, a relacją R₂ będzie równość, to różnicą R₁ − R₂ otrzymamy elementy, które są w relacji mniejszy lub równy, ale nie są w relacji równości. Otrzymamy więc pary (a, b), dla których zachodzi a ≤ b i jednocześnie nie zachodzi a = b. Innymi słowy dostaniemy relację mniejszy niż: <.

Dopełnienie relacji

Do każdej relacji możemy znaleźć jej dopełnienie. Elementami dopełnienia relacji R są wszystkie elementy, które nie należą do wyjściowej relacji R. Na przykład dopełnieniem relacji równości (tzn. = ) jest relacja nierówności. W pierwszej relacji mamy wszystkie pary elementów, które są sobie równe (np. 5 = 5), w dopełnieniu relacji mamy wszystkie pary liczb, które nie są sobie równe (np. 5≠6).

Jedyne, na co musisz uważać przy wyznaczaniu dopełnienia relacji, to zbiór nośny — zbiór, do którego relacja należy. Relację równości możemy zdefiniować na liczbach naturalnych, liczbach całkowitych, liczbach rzeczywistych, ale równie dobrze na zbiorze wszystkich ludzi na Ziemi.

Jeśli mamy relację dwuargumentową R taką, że jest określona na zbiorach M₁ i M₂: R ⊆ M₁ × M₂, to zachodzi, że dopełnienie relacji, oznaczmy je S, jest równe S = (M₁ × M₂) ∖ R: są to te elementy, które są w iloczynie kartezjańskim zbiorów nośnych, ale nie są w relacji R. Podobnie dla relacji o innej arności.