Relacja dwuargumentowa w zbiorze

Przez relację dwuargumentową w zbiorze rozumiemy relację dwuargumentową zdefiniowaną między dwoma takimi samymi zbiorami.

Przykłady

Relacja dwuargumentowa w zbiorze to szczególny rodzaj relacji dwuargumentowej, w którym oba zbiory nośne są takie same. Relacja dwuargumentowa w zbiorze jest więc relacją R taką, że R ⊆ M × M.

Relacja „większy niż” jest relacją dwuargumentową w zbiorze, bo po obu stronach pracujemy z liczbami. Zachodzi więc > ⊆ ℝ × ℝ. Relacja „ojciec — liczba dzieci” nie jest relacją dwuargumentową w zbiorze, bo ojca wybieramy ze zbioru wszystkich ludzi, a liczbę dzieci z jakiegoś zbioru liczbowego.

Własności

Relacja dwuargumentowa R w zbiorze M może mieć kilka ciekawych własności. Mówimy, że relacja R jest…

• zwrotna, jeśli dla wszystkich a ∈ M zachodzi (a, a) ∈ R.
• symetryczna, jeśli dla wszystkich a, b ∈ M zachodzi, że jeśli (a, b) ∈ R, to także (b, a) ∈ R.
• antysymetryczna, jeśli dla wszystkich a, b ∈ M zachodzi, że jeśli (a, b) ∈ R i jednocześnie (b, a) ∈ R, to a = b.
• przechodnia, jeśli dla wszystkich a, b, c ∈ M zachodzi, że jeśli (a, b) ∈ R i jednocześnie (b, c) ∈ R, to także (a, c) jest w R.

Przykłady zwrotności

Zwrotność oznacza, że element jest w relacji sam ze sobą. Typowym przykładem jest równość. Jeśli mamy zdefiniowaną równość na liczbach naturalnych, to na pewno dla dowolnego elementu a zachodzi: a = a. Innym przykładem może być podzielność. Tam też zachodzi, że liczba a jest podzielna przez samą siebie, czyli para (a, a) jest w relacji podzielności (siódemka dzieli siódemkę).

Relacja mniejszy niż już jednak zwrotna nie jest, bo nie zachodzi a < a. To niemożliwe, siódemka nie może być mniejsza niż siódemka. Podobnie relacja być ojcem swojego dziecka — nie mogę być swoim własnym ojcem. Takie relacje zwrotne nie są.

Ważne jest, że zwrotność musi zachodzić dla wszystkich elementów, nie wystarczy znaleźć tylko niektóre. Na przykład relacja „lubić kogoś”. Mogę lubić kogoś innego, na przykład kanara, ale mogę lubić też siebie. Na pewno znajdzie się człowiek, który lubi siebie. Ale tak samo znajdzie się człowiek, który sam siebie nie lubi. Taka relacja nie jest więc zwrotna — wszyscy ludzie musieliby lubić samych siebie.

Przykłady symetryczności

W relacji symetrycznej zachodzi, że jeśli w relacji jest jakaś para, to w relacji jest także para odwrócona. Na przykład relacja być rodzeństwem. Jeśli Janek jest bratem Jany, to i Jana jest siostrą Janka. Z relacji liczbowych mogłaby to być relacja „być liczbą przeciwną”. Mam na myśli pary 2 i −2 albo −7 i 7. Są to takie dwie liczby, które w sumie dają zero. Taka relacja jest symetryczna, bo kolejność po prostu nie ma znaczenia: (2, −2) i (−2, 2) to wciąż liczby wzajemnie przeciwne i w sumie dają zero.

Relacją, która nie jest symetryczna, jest mniejszy niż (na liczbach rzeczywistych). Nie ma ona ani jednego symetrycznego elementu, bo nigdy nie może zachodzić a < b i jednocześnie b < a. Jeśli 5 < 15, to nie może zachodzić 15 < 5. Dalej nie jest symetryczna relacja „być ojcem swojego syna”. Możesz być ojcem swojego syna, ale wtedy syn nie może już być ojcem swojego ojca.

Ta własność znowu musi zachodzić we wszystkich przypadkach. Jeśli relacja „lubić kogoś” (w zbiorze wszystkich ludzi) ma być symetryczna, to jeśli ja lubię Anję Rubik, to jednocześnie Anja musiałaby lubić mnie. A ponieważ ona mnie nawet nie zna, nie mogę powiedzieć, że mnie lubi (a szkoda), więc relacja nie jest symetryczna. Czego też szkoda.

Przykłady antysymetryczności

Klasycznym przykładem relacji antysymetrycznej jest mniejszy lub równy. Antysymetryczność mówi nam, że jeśli elementy (a, b) i (b, a) są w relacji, to tylko wtedy, gdy są sobie równe, a = b. Relacja mniejszy lub równy to spełnia. Kiedy zachodzi a ≤ b i jednocześnie b ≤ a? Tylko w przypadku, gdy a = b. Podstawmy liczby: czy zachodzi 3 ≤ 5 i jednocześnie 5 ≤ 3? Nie. Ale zachodzi 4 ≤ 4 i jednocześnie 4 ≤ 4.

Przykładem relacji, która nie jest antysymetryczna, mogą być pary słów, które mają tę samą długość, na przykład (sobota, szafka). Taka relacja nie jest antysymetryczna, bo znajdziemy parę słów, które są w relacji, para odwrócona też jest w relacji, a przy tym oba słowa są różne. Czyli wspomniany już element (sobota, szafka) i jego odwrócenie: (szafka, sobota). Oba są oczywiście w naszej relacji, ale przy tym sobota ≠ szafka, więc relacja nie jest antysymetryczna.

Przykład przechodniości

Przechodnia jest relacja mniejszy niż. Przechodniość mówi nam, że jeśli 3 < 4 i jednocześnie 4 < 5, to na pewno musi zachodzić także 3 < 5. Dla mnóstwa relacji jest to dość naturalna własność. Podobnie dla przykładu z tą samą długością słów. Jeśli w relacji są (szafka, sobota) i w relacji są (sobota, polano), to w relacji są także słowa (szafka, polano).

Przechodnia nie jest relacja być ojcem syna. Jeśli Antek jest ojcem Franka, a Franek jest ojcem Mirka, to Antek nie jest ojcem Mirka, jest jego dziadkiem. Podobnie nie jest przechodnia relacja lubić kogoś. Jeśli lubię Anję, a Anja lubi swoją siostrę, to nie znaczy, że ja też lubię siostrę Anji.

Przechodniość rozważa się także przy klasycznych kostkach do gry. Załóżmy relację: kostka A jest lepsza niż kostka B, jeśli na kostce A częściej (z większym prawdopodobieństwem) wypada wyższa liczba niż na kostce B. Czy taka relacja jest przechodnia? Na to odpowiada artykuł nieprzechodnie kostki.

Relacja równoważności i relacja porządku

Niektóre szczególne rodzaje relacji dwuargumentowych mają też swoje nazwy:

• Relacja równoważności to relacja, która jest zwrotna, symetryczna i przechodnia.
• Relacja porządku to relacja, która jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia.