Iloczyn wektorowy

Iloczyn wektorowy to działanie w przestrzeni na dwóch wektorach, które daje nam nowy wektor, prostopadły do obu tych wektorów.

Co to jest iloczyn wektorowy

Iloczyn wektorowy jest zdefiniowany dla dwóch wektorów i tylko w przestrzeni. Wynikiem iloczynu wektorowego, w odróżnieniu od iloczynu skalarnego, jest znowu wektor. Wynikiem iloczynu wektorowego wektorów $\vec{u}$ i $\vec{v}$ jest wektor $\vec{w}$, który ma następujące własności:

$$|\vec{w}|=|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\sin\alpha,$$

gdzie α jest kątem między wektorami $\vec{u}$ i $\vec{v}$. Poza tym wektor $\vec{w}$ jest prostopadły do obu wektorów $\vec{u}$ i $\vec{v}$. Jego zwrot wyznacza reguła prawej dłoni. Żeby odróżnić iloczyn wektorowy od skalarnego, przy wektorowym używamy znaku ×: $\vec{u} \times \vec{v}$.

Na rysunku jest przedstawiony przykładowy iloczyn wektorowy $\vec{u} \times \vec{v}$. Wynikiem jest wektor $\vec{w}$, który jest prostopadły do obu wektorów. Jesteśmy w przestrzeni, więc wektory $\vec{u}$ i $\vec{v}$ leżą w jednej płaszczyźnie, a wektor $\vec{w}$ jest do tej płaszczyzny prostopadły.

Jeśli jeden wektor jest kombinacją liniową drugiego, to ich iloczyn wektorowy jest równy wektorowi zerowemu. Obejmuje to przypadki, gdy oba wektory leżą na jednej prostej. Jeśli co najmniej jeden wektor jest zerowy, to iloczyn też jest zerowy.

Jak wyznaczyć współrzędne otrzymanego wektora

Na razie umiemy obliczyć długość otrzymanego wektora i jego kierunek. Praktyczniej jest jednak znać od razu współrzędne takiego wektora. Sam wzór wygląda tak:

$$\vec{u}\times \vec{v}=[u_2v_3-v_2u_3, u_3v_1-v_3u_1, u_1v_2-v_1u_2]$$

Ten wzór dość trudno zapamiętać, dlatego jest na to sposób:

Za pomocą tej tabelki możemy już pięknie mnożyć wektory. Przykład: mamy wektory $\vec{u}=[4, 0, 0]$ i $\vec{v}=[0, 5, 0]$. Pierwszy z nich leży na osi x, drugi na osi y. Ich iloczyn wektorowy będzie równy:

$$\begin{matrix} \vec{u}&0&&0&&4&&0\\\hline \vec{v}&5&&0&&0&&5\\ \vec{u}\times \vec{v}&&0&&0&&20 \end{matrix}$$

Otrzymany wektor $\vec{w}$ ma współrzędne [0, 0, 20]. To, że wynik jest poprawny, możemy sprawdzić z pierwszej definicji. Mówi ona, że

$$|\vec{w}|=|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\sin\alpha,$$

Nasz wektor $\vec{w}$ ma długość 20. Według wzoru musi więc zachodzić:

$$20=|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\sin\alpha$$

Podstawiamy:

$$20=4\cdot5\cdot\sin90^\circ=20\cdot1=20.$$

Do czego to się przydaje

Za pomocą iloczynu wektorowego możemy oczywiście znaleźć wektor, który jest prostopadły do dwóch innych wektorów. To, że tak jest naprawdę, możemy znowu sprawdzić iloczynem skalarnym. Wynik musi być równy zero. Sprawdzenie dla poprzedniego przykładu:

$$\begin{eqnarray} \vec{u}\cdot \vec{w}&=&4\cdot0+0+0\cdot20=0\\ \vec{v}\cdot \vec{w}&=&0+5\cdot0+0\cdot20=0 \end{eqnarray}$$

Kolejnym zastosowaniem jest obliczanie pola równoległoboku w przestrzeni. Jeśli mamy w przestrzeni równoległobok ABCD i wektory $\vec{u}$ i $\vec{v}$ wyznaczone przez boki AB i AD, to pole równoległoboku jest równe $P=|\vec{u} \times \vec{v}|$. Jeśli mamy w przestrzeni trójkąt ABC, a wektory $\vec{u}$ i $\vec{v}$ są wyznaczone przez boki AB i AC, to jego pole jest równe $P=\frac12|\vec{u} \times \vec{v}|$.

Przykład: oblicz pole trójkąta w przestrzeni o wierzchołkach A = (1,0,3), B = (5, 6, 8) i C = (3, 5, 4).

Najpierw musimy wyznaczyć wektory $\vec{u}$ i $\vec{v}$.

$$\begin{eqnarray} \vec{u}&=&\vec{AB}=[4, 6, 5]\\ \vec{v}&=&\vec{AC}=[2, 5, 1] \end{eqnarray}$$

Teraz obliczymy ich iloczyn:

$$\vec{w}=\vec{u}\times \vec{v}=[-19, 6, 8]$$

A potem jego długość:

$$|\vec{w}|=\sqrt{(-19)^2+6^2+8^2}=\sqrt{461}\approx21{,}47$$

Na koniec wynik podzielimy przez dwa:

$$P(\triangle ABC)=\frac{21{,}47}{2}=10{,}735$$