Kombinacja liniowa wektorów

Kombinacja liniowa to sposób, jak z pewnego zbioru wektorów zbudować nowy wektor tylko za pomocą dodawania i mnożenia.

Co to jest kombinacja liniowa

Weźmy jakąś przestrzeń liniową V. Wiemy, że przestrzeń jest zamknięta ze względu na dodawanie wektorów, więc dla dwóch wektorów x, y ∈ V zawsze zachodzi x+y∈ V. Jeśli dodamy dwa wektory, dostaniemy znowu wektor z tej samej przestrzeni. To samo dotyczy mnożenia przez skalar. Jeśli mamy jakieś k∈ ℝ, to również k · x ∈ V.

Obie operacje możemy połączyć — weźmiemy k, l ∈ ℝ i wyrażenie k · x + l · y da nam znowu nowy wektor, oznaczmy go v, i ten wektor v będzie znowu leżał w przestrzeni V. Dlaczego? k · x ∈ V, a jednocześnie na pewno l · y∈ V. Dodajemy dwa wektory przestrzeni V, więc z definicji musimy dostać wektor z przestrzeni V.

Możemy więc powiedzieć, że wektor v jest kombinacją liniową wektorów x i y. Ogólnie: jeśli mamy wektory x₁, x₂, …, x_n i liczby rzeczywiste k₁, k₂, …, k_n, które nazywamy współczynnikami, to kombinacją liniową tych wektorów jest wektor v, który dostaniemy jako

$$\mathbf{v}=k_1\cdot \mathbf{x}_1+k_2\cdot \mathbf{x}_2 + \ldots + k_n\cdot \mathbf{x}_n.$$

Przykład: weźmy przestrzeń ℝ² i z niej dwa wektory: (2,3) i (0,8). Teraz wybierzemy współczynniki: k₁ = 2, k₂ = 5. Jako kombinację liniową tych wektorów ze współczynnikami k₁, k₂ dostaniemy wektor

$$2\cdot\left(2{,}3\right)+5\cdot\left(0{,}8\right)=\left(4{,}6\right)+\left(0{,}40\right)=\left(4{,}46\right)$$

Widzimy, że dostaliśmy wektor (4,46), który należy do przestrzeni ℝ². Gdybyśmy wybrali inne współczynniki, dostalibyśmy inny wektor. Dla k₁ = 0, k₂ = −1 mamy:

$$0\cdot\left(2{,}3\right)-1\cdot\left(0{,}8\right)=\left(0{,}0\right)+\left(0,-8\right)=\left(0,-8\right)$$

Wektory liniowo zależne

Z kombinacjami liniowymi wiążą się wektory liniowo zależne i liniowo niezależne. Pokażemy to na przykładzie: weźmy przestrzeń liniową ℝ² i zbiór wektorów Q z tej przestrzeni:

$$Q=\left\{\left(1{,}1\right), \left(2{,}4\right), \left(3, 5\right), \left(10, 18\right)\right\}$$

Będzie nas teraz interesować, czy potrafimy któryś z tych czterech wektorów wyrazić jako kombinację liniową pozostałych trzech wektorów. Kiedy tak przyjrzymy się wektorom, widzimy, że wektor (3, 5) jest równy zwykłej sumie dwóch pierwszych wektorów.

$$\left(1{,}1\right)+\left(2{,}4\right)=\left(3{,}5\right)$$

Wektor (3,5) jest więc kombinacją liniową wektorów (1,1) i (2,4). Żeby było ciekawiej, usuniemy ten wektor ze zbioru Q. Dostaniemy nowy zbiór Q₁, który ma postać:

$$Q_1=\left\{\left(1{,}1\right), \left(2{,}4\right), \left(10, 18\right)\right\}$$

Znajdziemy tu jeszcze jakiś wektor, który jest kombinacją liniową pozostałych? Tak, wektor (10,18) jest kombinacją liniową dwóch pierwszych wektorów dla k₁ = 2, k₂ = 4:

$$2\cdot\left(1{,}1\right)+4\cdot\left(2{,}4\right)=\left(2{,}2\right)+\left(8{,}16\right)=\left(10{,}18\right)$$

Znowu usuniemy ten wektor i dostaniemy:

$$Q_2=\left\{\left(1{,}1\right), \left(2{,}4\right)\right\}$$

Pytamy ponownie — czy możemy dostać jeden z wektorów jako kombinację drugiego? Nie możemy, żadna wielokrotność wektora (1,1) nie będzie równa wektorowi (2,4).

Dostaliśmy zbiór wektorów, w którym żadnego wektora nie da się wyrazić jako kombinacji liniowej pozostałych wektorów. Taki zbiór nazywamy liniowo niezależnym zbiorem wektorów. Jeśli jakiś wektor da się wyrazić jako kombinację pozostałych, mówimy o nim, że jest liniowo zależny. Jeśli nie da się go wyrazić, mówimy o nim, że jest liniowo niezależny.

Wektor zerowy

Wektor zerowy 0 odgrywa w liniowej zależności ważną rolę. Wróćmy do zbioru wektorów Q₁ i do przestrzeni ℝ². Zbiór Q₁ wygląda tak:

$$Q_1=\left\{\left(1{,}1\right), \left(2{,}4\right), \left(10, 18\right)\right\}$$

i już wiemy, że wektor (10, 18) jest zależny, bo 2 · (1,1)+4 · (2,4) = (10, 18). Co by się więc stało, gdybyśmy od wyrażenia 2 · (1,1)+4 · (2,4) odjęli wektor (10, 18)? Albo inaczej: gdybyśmy dodali jego −1-krotność? Wyglądałoby to tak:

$$2\cdot\left(1{,}1\right)+4\cdot\left(2{,}4\right)-\left(10, 18\right)$$

To wyrażenie byłoby na pewno równe wektorowi zerowemu:

$$2\cdot\left(1{,}1\right)+4\cdot\left(2{,}4\right)-\left(10, 18\right)=\left(0{,}0\right)$$

Wynika z tego ciekawa własność. Jeśli zbiór wektorów x₁, x₂, …, x_n jest liniowo zależny, to istnieją współczynniki rzeczywiste a₁, a₂, …, a_n takie, że

$$a_1\cdot \mathbf{x}_1+a_2\cdot \mathbf{x}_2+\ldots+ a_n\cdot \mathbf{x}_n = \mathbf{0}$$

Przy tym co najmniej jeden współczynnik a_i musi być niezerowy. Gdybyśmy za wszystkie współczynniki podstawili zero, dostalibyśmy zawsze prawdziwą równość, a wtedy wyszłoby nam, że każdy zbiór wektorów jest liniowo zależny, co jest oczywiście bez sensu. Uzasadnienie poprzedniej równości jest proste. Jeśli na przykład liniowo zależny jest wektor x₁, to znaczy, że

$$a_2\cdot \mathbf{x}_2+\ldots+ a_n\cdot \mathbf{x}_n=\mathbf{x}_1$$

Do tej równości wystarczy dodać −x₁ i dostaniemy

$$-1\cdot\mathbf{x}_1 + a_2\cdot \mathbf{x}_2+\ldots+ a_n\cdot \mathbf{x}_n=\mathbf{0}$$

Jak sprawdzić, czy wektory są zależne

Jeśli mamy wektory x₁, x₂, …, x_n i chcemy sprawdzić, czy są liniowo (nie)zależne, wystarczy rozwiązać wspomniane równanie

$$a_1\cdot \mathbf{x}_1+a_2\cdot \mathbf{x}_2+\ldots+ a_n\cdot \mathbf{x}_n = \mathbf{0}$$

tj. znaleźć współczynniki a_i. Jeśli poruszamy się w przestrzeni ℝ³, moglibyśmy mieć takie wektory: (1,2,3), (2,1,7), (1,−4,5). Ponieważ chcemy sprawdzić, czy są zależne, rozwiązujemy takie równanie:

$$a_1\cdot\left(1{,}2,3\right) + a_2\cdot\left(2{,}1,7\right) + a_3\cdot\left(1,-4{,}5\right)=\left(0{,}0,0\right)$$

To równanie po prostu rozpiszemy według definicji dodawania wektorów i mnożenia wektora przez skalar. Zachodzi a₁ · (1,2,3) = (a₁,2a₁,3a₁) itd. Rozpiszemy to tak:

$$\left(a_1{,}2a_1{,}3a_1\right)+\left(2a_2, a_2{,}7a_2\right)+\left(a_3, -4a_3, 5a_3\right)=\left(0{,}0,0\right)$$

Teraz rozpiszemy dodawanie. Dodajemy zawsze na tych samych współrzędnych, więc dodamy pierwszą składową pierwszego wektora a₁ do pierwszej składowej drugiego wektora 2a₂ i do pierwszej składowej trzeciego wektora a₃, a wszystko to musi się równać pierwszej składowej wektora zerowego, czyli zeru. I tak samo dla drugiej i trzeciej składowej. Dostaniemy układ równań liniowych:

$$ \begin{array}{} a_1&+&2a_2&+&a_3&=&0\\ 2a_1&+&a_2&+&-4a_3&=&0\\ 3a_1&+&7a_2&+&5a_3&=&0\\ \end{array} $$

Ten układ możemy zapisać w zwykłej macierzy:

$$ \begin{pmatrix} 1&2&1&0\\ 2&1&-4&0\\ 3&7&5&0 \end{pmatrix} $$

Zauważ, że w kolumnach tej macierzy są tak naprawdę wyjściowe wektory. W pierwszej kolumnie macierzy jest wyjściowy wektor (1,2,3), w trzeciej wektor (1,−4,5) itd. Przy liczeniu nie musisz więc zawsze wykonywać wszystkich tych skomplikowanych przekształceń: tę macierz utworzysz tak, że do kolumn wpiszesz wektory, o których masz rozstrzygnąć, czy są zależne, a potem dopiszesz kolumnę zerową.

Układ możemy rozwiązać metodą eliminacji Gaussa. Sprowadzimy macierz do postaci schodkowej. Najpierw dodamy do drugiego wiersza pierwszy wiersz pomnożony przez −2, a do trzeciego pierwszy wiersz pomnożony przez −3:

$$ \begin{pmatrix} 1&2&1&0\\ 2&1&-4&0\\ 3&7&5&0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&2&1&0\\ 0&-3&-6&0\\ 0&1&2&0 \end{pmatrix} $$

Teraz możemy do drugiego wiersza dodać trzeci wiersz pomnożony przez 3:

$$ \begin{pmatrix} 1&2&1&0\\ 0&-3&-6&0\\ 0&1&2&0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1&2&1&0\\ 0&0&0&0\\ 0&1&2&0 \end{pmatrix} $$

Dalej nie musimy już nawet liczyć: udało nam się wyzerować jeden wiersz, co oznacza, że wektory są liniowo zależne. Możemy jednak układ doliczyć do końca. Wybierzemy parametr a₃ = t. Wtedy z równania

$$a_2+2a_3=0$$

czyli z ostatniego wiersza macierzy, po podstawieniu a₃ = t dostaniemy równanie:

$$\begin{eqnarray} a_2+2t&=&0\\ a_2&=&-2t \end{eqnarray}$$

Teraz podstawimy te wartości do pierwszego równania, czyli do pierwszego wiersza macierzy:

$$\begin{eqnarray} a_1+2a_2+a_3&=&0\\ a_1-4t+t&=&0\\ a_1&=&3t \end{eqnarray}$$

Mamy więc a₁ = 3t, a₂ = −2t, a₃ = t. Jeśli za t podstawimy na przykład t = 3, dostaniemy jedno konkretne rozwiązanie a₁ = 9, a₂ = −6, a₃ = 3. Te współczynniki możemy podstawić do wyjściowego równania

$$a_1\cdot\left(1{,}2,3\right) + a_2\cdot\left(2{,}1,7\right) + a_3\cdot\left(1,-4{,}5\right)=\left(0{,}0,0\right)$$

i dostaniemy:

$$9\cdot\left(1{,}2,3\right) + (-6)\cdot\left(2{,}1,7\right) + 3\cdot\left(1,-4{,}5\right)=\left(0{,}0,0\right)$$

Przekształcimy lewą stronę:

$$\begin{eqnarray} 9\cdot\left(1{,}2,3\right) + (-6)\cdot\left(2{,}1,7\right) + 3\cdot\left(1,-4{,}5\right)&=&\left(0{,}0,0\right)\\ \left(9{,}18,27\right) + \left(-12,-6,-42\right) + \left(3,-12{,}15\right)&=&\left(0{,}0,0\right)\\ \left(9-12+3{,}18-6-12{,}27-42+15\right) &=& \left(0{,}0,0\right)\\ \left(0{,}0,0\right) &=& \left(0{,}0,0\right)\\ \end{eqnarray}$$

Widzimy, że jeśli za współczynniki wybierzemy na przykład a₁ = 9, a₂ = −6, a₃ = 3, dostaniemy z wektorów (1,2,3), (2,1,7), (1,−4,5) wektor zerowy. Gdyby układ miał tylko jedno rozwiązanie, zerowe, wektory byłyby liniowo niezależne.